k 元组与集合取 min/max 碰撞的火花

合集 - 学习笔记(7)

1.k 元组与集合取 min/max 碰撞的火花2024-05-06

2.DP - 补2024-08-133.DP 习题（一）2024-06-104.DP（一）2024-06-105.匈牙利。2024-10-116.Hall2024-11-187.笛卡尔树2024-11-26

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非常感谢洛谷的推荐题目功能。

举个例子，如果我们要求 $\operatorname{and}$ 起来等于 $1\sim n$ 的 $k$ 元组个数，该怎么办？

我们可以先做一遍高维后缀和，此时设得到的数组 $f_i$ 为是 $n$ 的超集的数的个数。

我们发现其实我们在 $n$ 的超集中选任意 $k$ 个数，这 $k$ 个数 $\operatorname{and}$ 起来一定是 $n$ 的超集。所以我们可以 $f_i\gets \binom {f_{i}}{k}$。此时 $f_i$ 表示的则是 $\operatorname{and}$ 起来是 $n$ 的超集的 $k$ 元组个数。我们发现 $f_i$ 实质上可以拆解成 $\operatorname{and}$ 起来是每个是 $n$ 的超集的 $k$ 元组个数之和（直接拆就行了，我当时第一次理解的时候理解了半天，太唐了），所以这个东西是一个高维后缀和，我们做一遍高维差分之后就是 $\operatorname{and}$ 起来是 $n$ 的 $k$ 元组个数。

所以我们对集合取 $\min$ 或 $\max$ 在集合前后缀上体现的非常明显，基本在高维前/后缀和上转化一下权值再做一遍高维差分就能解决。$k$ 元组问题是典型。

例题：P2714 四元组统计

注意到其实 $\gcd$ 其实就是在约数指数这个集合内取 $\min$，那么做一遍 Dirichlet 后缀和，然后把个数变成 $4$ 元组的个数，然后再做一遍 Dirichlet 差分即可。

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