自适应滤波：递归最小二乘

作者：桂。

时间：2017-04-04  15:51:03

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6664478.html 

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【读书笔记12】

前言

　　西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第九章：递归最小二乘（Recursive least squares， RLS）。记得看完第一章之后，半个月没有碰这本书，后来想着开了个头，还是该看到第十章的卡尔曼滤波才好，前前后后又花了半个月，总算看到了第九章。回头看看，静下心来，确实容易理清思路，也学到不少知识。虽然前路漫漫，编程水平不够、机器学习的理论还没多少概念、算法基础没多少、收入也很微薄......不过还是该表扬一下自己。既然选择了道路，自己还是该耐心走下去，哪怕上不了山顶，也该看看高处的风景。

　　言归正传，本文主要包括：

　　1）RLS原理介绍;

　　2）RLS应用实例;

内容为自己的学习记录，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。

一、RLS原理介绍

　　A-问题描述

考虑指数加权的优化问题：

$0 < \lambda  \le 1$为遗忘因子，这里只讨论平稳情况，取$\lambda = 1$。

从而得到最优解：

其中：

可以看到，$\lambda = 1$对应的就是最小二乘思想。回头看看之前分析的LMS以及NLMS，用的是随机梯度下降的思想，这是RLS与LMS很明显的不同点。

由于$x(i)$、$y(i)$时刻在变换，最优解如何更新呢？

　　B-迭代更新

首先给出文中用到的矩阵求逆引理：

矩阵求逆引理：

定义逆矩阵：

利用矩阵求逆引理：

其中$k(n)$称为增益向量，由上式得出：

借助迭代：

可以得到权重的更新公式：

其中为估计误差：

至此实现RLS的整个步骤。

 

二、RLS应用实例

　　A-算法步骤

结合上文的推导，给出RLS的迭代步骤：

步骤一：初始化

其中$\delta$为很小的正数，如1e-7；

步骤二：迭代更新

　　B-代码应用

给出主要代码，可以结合前文的LMS/NLMS对比分析：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

function [e,w]=rls(lambda,M,u,d,delta) % recursive least squares,rls. % Call: % [e,w]=rls(lambda,M,u,d,delta) % % Input arguments: % lambda = constant, (0,1] % M = filter length, dim 1x1 % u = input signal, dim Nx1 % d = desired signal, dim Nx1 % delta = constant for initializaton, suggest 1e-7. % % Output arguments: % e = estimation error, dim Nx1 % w = final filter coefficients, dim Mx1 % Step1:initialize % 2017-4-4 14:34:33, Author: Gui w=zeros(M,1); P=eye(M)/delta; u=u(:); d=d(:); % input signal length N=length(u); % error vector e=d.'; % Step2: Loop, RLS for n=M:N     uvec=u(n:-1:n-M+1);     e(n)=d(n)-w'*uvec;     k=lambda^(-1)*P*uvec/(1+lambda^(-1)*uvec'*P*uvec);     P=lambda^(-1)*P-lambda^(-1)*k*uvec'*P;     w=w+k*conj(e(n)); end

给出应用：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

[s, fs, bits] = wavread(filename);          s=s-mean(s);                           s=s/max(abs(s));                       N=length(s);                            time=(0:N-1)/fs;                       clean=s'; ref_noise=.1*randn(1,length(s)); mixed = clean+ref_noise; mu=0.05;M=2;espon=1e-4; % [en,wn,yn]=lmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed); % [en,wn,yn]=nlmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed,espon); delta = 1e-7; lambda = 1; [en,w]=rls(lambda,M,ref_noise,mixed,delta);

　　对应结果图：

可以看出不像NLMS/LMS有一个慢速收敛的过程，RLS在开始阶段就得到较好的降噪。

　　C-与LMS对比

与LMS对比，可以观察到RLS的几点特性：

• 平稳环境λ=1，其实是最小二乘的思想；LMS/NLMS是随机梯度下降思想；
• 最小二乘是直接得出结果，随机梯度下降收敛慢，因此RLS比LMS/NLMS收敛快一个数量级；

 

参考：

• Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.