自适应滤波：维纳滤波器——LCMV及MVDR实现

作者：桂。

时间：2017-03-24 06:52:36

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6609317.html

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【读书笔记03】

前言

西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版，上一篇看到维纳滤波基本形式：最优化问题，且无任何条件约束。这次看到有约束的部分，简单整理一下思路：

　　1）拉格朗日乘子法；

　　2）线性约束最小方差滤波器（Linearly constrained minimum-variance，LCMV）;

　　3）谱估计之MVDR算法（Minimum variance distortionless response ，MVDR）；

内容为自己的学习总结，如有错误之处，还请各位帮忙指出！

一、拉格朗日乘子法

学习到含有约束条件的Wiener Filter，拉格朗日乘子法是解决：将含约束条件的优化问题转化为无约束条件优化问题的途径，故先梳理一下。

　　A-只含一个等式约束的最优化

实函数 $f\left( {\bf{w}} \right)$ 是参数向量 ${\bf{w}}$ 的二次函数，约束条件是：

${{{\bf{w}}^H}{\bf{s}} = g}$

其中 $\bf{s}$ 是已知向量， $g$ 是复常数。例如在波束形成应用中 ${\bf{w}}$ 表示各传感器输出的一组复数权值， $\bf{s}$ 是一个旋转向量。假设该问题是一个最小化问题，令 $c\left( {\bf{w}} \right) = {{\bf{w}}^H}{\bf{s}} - g = 0 + j0$ 可以描述为：

所谓拉格朗日乘子法，就是引入拉格朗日乘子：将上述约束最小化问题转化为无约束问题，定义一个新的实函数：

$h\left( {\bf{w}} \right) = f\left( {\bf{w}} \right) + {\lambda _1}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {c\left( {\bf{w}} \right)} \right] + {\lambda _2}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {c\left( {\bf{w}} \right)} \right]$

现在定义一个复拉格朗日乘子：

$\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2}$

$h({\bf{w}})$ 改写为：

$h\left( {\bf{w}} \right) = f\left( {\bf{w}} \right) + {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {{\lambda ^*}c\left( {\bf{w}} \right)} \right]$

至此，无约束优化问题转化完成，利用偏导求参即可，其实这是一个简化的形式，分别求解 $\lambda _1$ 、 $\lambda _2$ 也是一样的。

　　B-包含多个等式约束的最优化

实函数 $f\left( {\bf{w}} \right)$ 是参数向量 ${\bf{w}}$ 的二次函数，约束条件是：

${{{\bf{w}}^H}{\bf{s_k}} = g_k}$

其中 $k = 1,2...K$ ，方法同单个约束情况相同，求解伴随方程：

$\frac{{\partial f}}{{\partial {{\bf{w}}^*}}} + \sum\limits_{k = 1}^K {\frac{\partial }{{\partial {{\bf{w}}^*}}}\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\lambda _k^*{c_k}\left( {\bf{w}} \right)} \right]} \right)} = {\bf{0}}$

此时与多个等式约束联合成方程组，这个方程组定义了 ${\bf{w}}$ 和拉格朗日乘子 ${\lambda _1}$ 、 ${\lambda _2}$ ... ${\lambda _K}$ 的解。

二、线性约束最小方差滤波器

　　之前看到的维纳滤波都是基于最小均方误差准则，而没有添加任何约束，此处考虑含有线性约束情况下的方差滤波器，文中给了一个图：

其中 $x(n)$ 为输入信号(即 $u$ ，为了与下文统一，用 $x$ 表示)， $w_i$ 为权重， $y(n)$ 为滤波器输出：

$y\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {{w^*_k}x\left( {n - k} \right)}$

这个优化问题如果没有约束可以表述为：

$\arg \mathop {\min }\limits_{\bf{w}} J = E\left[ {{y^H}y} \right]$

假设 $\theta_0$ 为目标达到角，希望对该角度特殊处理：如果该角是目标角，希望其幅度保持不衰减，即 $\sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {{w^*_k}{e^{ - jk{\theta _0}}}} = 1$ ;反之，如果是干扰信号，希望其幅度衰减为0，即 $\sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {{w^*_k}{e^{ - jk{\theta _0}}}} = 0$ ；无论是0还是1，都是对优化问题的一种约束形式，写出更一般的约束形式：

$\sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {{w^*_k}{e^{ - jk{\theta _0}}}} = g$

$g$ 是一个复增益。利用拉格朗日乘子法给出约束条件下准则函数（暂不考虑噪声情况）：

$J = {{\bf{w}}^H}{R_{xx}}{\bf{w}} + {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {{\lambda ^*}\left[ {{{\bf{w}}^H}{\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right) - g} \right]} \right]$

其中 ${\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right) = \left[ {1,{e^{ - j{\theta _0}}},...,{e^{ - j(M - 1){\theta _0}}}} \right]$ , $M$ 是权向量 $\bf{w}$ 的个数，则到系数解：

$\lambda = - \frac{{2g}}{{{{\bf{s}}^H}\left( {{\theta _0}} \right){{\bf{R}}^{ - 1}}{\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right)}}$

对应最优权向量：

${{\bf{w}}_{opt}} = \frac{{{g^*}{{\bf{R}}^{ - 1}}{\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right)}}{{{{\bf{s}}^H}\left( {{\theta _0}} \right){{\bf{R}}^{ - 1}}{\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right)}}$

以权向量 ${{\bf{w}}_{opt}}$ 表征的波束形成器称为线性约束最小方差（LCMV, linearly constrained minimum-variance）波束形成器，也称LCMV滤波器。

三、LCMV应用——MVDR算法

实际应用中信号掺杂了噪声。假设原信号 $s(t)$ ，接收器收集的是不同时延的混合信号，经过采样量化后得 $x(n)$ ，现在希望通过自适应权重 $w$ 输出符合需求的 $y$ ，假设通道个数为 $N$ ，给出接收通道模型：

写成矩阵形式：

进行相关矩阵求解：

可以发现如果 $w^Hw$ 为定值，则噪声对最优权值的求解无影响，LCMV可用。

给出混合模型：

对应准则函数（此处 $g = 1$ ）：

借助LCMV的分析，得出MVDR最优权重：

实际应用中，通常用时间换空间，借助遍历性近似求解相关矩阵：

给出代码：

doas=[-30 -5 40]*pi/180; %DOA's of signals in rad.
P=[1 1 1]; %Power of incoming signals
N=10; %Number of array elements
K=1024; %Number of data snapshots
d=0.5; %Distance between elements in wavelengths
noise_var=40; %Variance of noise
r=length(doas); %Total number of signals
% Steering vector matrix. Columns will contain the steering vectors of the r signals
A=exp(-i*2*pi*d*(0:N-1)'*sin([doas(:).']));
% Signal and noise generation
sig=round(rand(r,K))*2-1; % Generate random BPSK symbols for each of the
% r signals
noise=sqrt(noise_var/2)*(randn(N,K)+i*randn(N,K)); %Uncorrelated noise
X=A*diag(sqrt(P))*sig+noise; %Generate data matrix
R=X*X'/K; %Spatial covariance matrix
%MVDR
IR=inv(R); %Inverse of covariance matrix
for k=1:length(angles)
mvdr(k)=1/(a1(:,k)'*IR*a1(:,k));
end
figure;
plot(angles,abs(mvdr)/max(abs(mvdr)),'k');hold on;
xlabel('Angle in degrees')
%Estimate DOA's using the classical beamformer
for k=1:length(angles)
Classical(k)=(a1(:,k)'*R*a1(:,k));
end
plot(angles,abs(Classical)/max(abs(Classical)),'r--');grid on;
legend('MVDR','Classical Beamformer');