信号处理——Hilbert变换及谱分析

作者：桂。

时间：2017-03-03 23:57:29

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/articles/6498913.html

前言

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

　　A-Hilbert变换定义

对于一个实信号 $x(t)$ ，其希尔伯特变换为：

$\tilde x(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t}$

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

$\frac{1}{{\pi t}} \Leftrightarrow j\cdot \;sign(\omega )$

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

$\frac{1}{{\pi t}}*\frac{1}{{\pi t}} \Leftrightarrow j \cdot \;sign(\omega ) \cdot j \cdot \;sign(\omega ) = - 1$

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

$z(t) = x(t) + j\tilde x(t)$

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

　　B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

$x(t) = a(t)\cos [2\pi {f_s}t + \varphi (t)]$

其中 $f_s$ 是载波频率， $a(t)$ 是 $x(t)$ 的包络， $\varphi (t)$ 是 $x(t)$ 的相位调制信号。由于 $x(t)$ 是窄带信号，因此 $a(t)$ 也是窄带信号，可设为：

$a(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

式中， $f_m$ 为调幅信号 $a(t)$ 的频率分量， ${\gamma _m}$ 为 $f_m$ 的各初相角。

对 $x(t)$ 进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

$z(t) = {e^{j\left[ {2\pi {f_s} + \varphi \left( t \right)} \right]}}\left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

设

$A(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

$\Phi \left( t \right) = 2\pi {f_s}t + \varphi \left( t \right)$

则解析信号可以重新表达为：

$z(t) = A(t){e^{j\Phi \left( t \right)}}$

对比 $x(t)$ 表达式，容易发现：

$a(t) = A(t) = \sqrt {{x^2}(t) + {{\tilde x}^2}(t)}$

$\varphi (t) = \Phi (t) - 2\pi {f_s}t = \arctan \frac{{x(t)}}{{\tilde x(t)}} - 2\pi {f_s}t$

由此可以得出：对于窄带信号 $x(t)$ ，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调 $a(t)$ 和相位解调 $\varphi (t)$ ，并可以利用相位解调求解频率解调 $f(t)$ 。因为：

$f\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{d\varphi (t)}}{{dt}} = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{d\Phi (t)}}{{dt}} - {f_s}$

　　C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

?
1
2
z = hilbert(x);
f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
f = 50;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 信号变换
% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号
y = sin(2*pi*f*t);
yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号
yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换
figure
subplot(211)
plot(t, y)
title('原始sin信号')
subplot(212)
plot(t, yi)
title('Hilbert变换信号')
ylim([-1,1])

　　对应效果图：

已知信号 $x(t) = (1 + 0.5\cos (2\pi 5t))\cos (2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t))$ ，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络： $(1 + 0.5\cos (2\pi 5t))$

瞬时频率： $\frac{2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t)}{2\pi}$

那么问题来了，实际情况是：我们只知道 $x(t)$ 的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

clear all; clc; close all;
 
fs=400;                                 % 采样频率
N=400;                                  % 数据长度
n=0:1:N-1;
dt=1/fs;
t=n*dt;                                 % 时间序列
A=0.5;                                  % 相位调制幅值
x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t));  % 信号序列
z=hilbert(x');                          % 希尔伯特变换
a=abs(z);                               % 包络线
fnor=instfreq(z);                       % 瞬时频率
fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)];        % 瞬时频率补齐
% 作图
pos = get(gcf,'Position');
set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);
subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on;
plot(t,a,'r--','linewidth',2); 
title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']);
ylim([-2,2]);
subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]);
title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz');  xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

　　其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

function [fnormhat,t]=instfreq(x,t,L,trace);
%INSTFREQ Instantaneous frequency estimation.
%   [FNORMHAT,T]=INSTFREQ(X,T,L,TRACE) computes the instantaneous 
%   frequency of the analytic signal X at time instant(s) T, using the
%   trapezoidal integration rule.
%   The result FNORMHAT lies between 0.0 and 0.5.
% 
%   X : Analytic signal to be analyzed.
%   T : Time instants           (default : 2:length(X)-1).
%   L : If L=1, computes the (normalized) instantaneous frequency 
%       of the signal X defined as angle(X(T+1)*conj(X(T-1)) ;
%       if L>1, computes a Maximum Likelihood estimation of the
%       instantaneous frequency of the deterministic part of the signal
%       blurried in a white gaussian noise.
%       L must be an integer        (default : 1).
%   TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown
%                                   (default : 0).
%   FNORMHAT : Output (normalized) instantaneous frequency.
%   T : Time instants.
%
%   Examples : 
%    x=fmsin(70,0.05,0.35,25); [instf,t]=instfreq(x); plot(t,instf)
%    N=64; SNR=10.0; L=4; t=L+1:N-L; x=fmsin(N,0.05,0.35,40);
%    sig=sigmerge(x,hilbert(randn(N,1)),SNR);
%    plotifl(t,[instfreq(sig,t,L),instfreq(x,t)]); grid;
%    title ('theoretical and estimated instantaneous frequencies');
%
%   See also  KAYTTH, SGRPDLAY.
 
%   F. Auger, March 1994, July 1995.
%   Copyright (c) 1996 by CNRS (France).
%
%   ------------------- CONFIDENTIAL PROGRAM -------------------- 
%   This program can not be used without the authorization of its
%   author(s). For any comment or bug report, please send e-mail to 
%   f.auger@ieee.org 
 
if (nargin == 0),
 error('At least one parameter required');
end;
[xrow,xcol] = size(x);
if (xcol~=1),
 error('X must have only one column');
end
 
if (nargin == 1),
 t=2:xrow-1; L=1; trace=0.0;
elseif (nargin == 2),
 L = 1; trace=0.0;
elseif (nargin == 3),
 trace=0.0;
end;
 
if L<1,
 error('L must be >=1');
end
[trow,tcol] = size(t);
if (trow~=1),
 error('T must have only one row'); 
end;
 
if (L==1),
 if any(t==1)|any(t==xrow),
  error('T can not be equal to 1 neither to the last element of X');
 else
  fnormhat=0.5*(angle(-x(t+1).*conj(x(t-1)))+pi)/(2*pi);
 end;
else
 H=kaytth(L); 
 if any(t<=L)|any(t+L>xrow),
  error('The relation L<T<=length(X)-L must be satisfied');
 else
  for icol=1:tcol,
   if trace, disprog(icol,tcol,10); end;
   ti = t(icol); tau = 0:L;
   R = x(ti+tau).*conj(x(ti-tau));
   M4 = R(2:L+1).*conj(R(1:L));
    
   diff=2e-6;
   tetapred = H * (unwrap(angle(-M4))+pi);
   while tetapred<0.0 , tetapred=tetapred+(2*pi); end;
   while tetapred>2*pi, tetapred=tetapred-(2*pi); end;
   iter = 1;
   while (diff > 1e-6)&(iter<50),
    M4bis=M4 .* exp(-j*2.0*tetapred);
    teta = H * (unwrap(angle(M4bis))+2.0*tetapred);
    while teta<0.0 , teta=(2*pi)+teta; end;
    while teta>2*pi, teta=teta-(2*pi); end;
    diff=abs(teta-tetapred);
    tetapred=teta; iter=iter+1;
   end;
   fnormhat(icol,1)=teta/(2*pi);
  end;
 end;
end;

　　对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1
a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3
m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号
y = a.*m;  % 信号调制
figure
subplot(241)
plot(t, a)
title('包络')
subplot(242)
plot(t, m)
title('调制信号')
subplot(243)
plot(t, y)
title('调制结果')
% 包络分析
% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等
yh = hilbert(y);
aabs = abs(yh);                 % 包络的绝对值
aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位
af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
% NFFT = 2^nextpow2(N);
NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应
f = fs*linspace(0,1,NFFT);
YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱
A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱
subplot(245)
plot(t, aabs,'r', t, a)
title('包络的绝对值')
legend('包络分析结果', '真实包络')
subplot(246)
plot(t, aangle)
title('调制信号的相位')
subplot(247)
plot(t(1:end-1), af*fs)
title('调制信号的瞬时频率')
subplot(244)
plot(f,abs(YH))
title('原始信号的Hilbert谱')
xlabel('频率f (Hz)')
ylabel('|YH(f)|')
subplot(248)
plot(f,abs(A))
title('包络的频谱')
xlabel('频率f (Hz)')
ylabel('|A(f)|')

　　对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

　　A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1
a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3
m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号
y = a.*m;  % 信号调制
figure
yh = hilbert(y);
aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位
af1 = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
af1 = [af1(1),af1];
subplot 211
plot(t, af1*fs);hold on;
plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);
title('直接求解调制信号的瞬时频率');
legend('频率估值','真实值','location','best');
subplot 212
af2 = instfreq(yh.').';
af2 = [af2(1),af2,af2(end)];
plot(t, af2*fs);hold on;
plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);
title('instfreq求解调制信号的瞬时频率');
legend('频率估值','真实值','location','best');

　　结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

　　B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

　　C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

　　D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

function y=envelope(signal,Fs)
 
%Example:
%   load('s4.mat');
%   signal=s4;
%   Fs=12000;
%   envelope(signal,Fs);
clc;
close all;
 
%Normal FFT
y=signal;
figure();
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 311
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('FFT of Original Signal');
 
 
%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT
[a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1
%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and
%then taking square root
sig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing 
%gain of 2 for maintianing the same energy in the output
y_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPF
y=sqrt(y_sq);%taking Square root
%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings
%out some hidden information more efficiently
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 312
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection: LPF Method');
 
 
 
%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT
analy=hilbert(signal);
y=abs(analy);
N=2*2048;T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 313
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection : Hilbert Transform')