「总结」： 概率与期望

知识点: 概率与期望

知识归类: 数学

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胡言乱语·前言

作为一名前后2000万的高清菜鸡（乱入了抱歉）

之前考试遇到概率立即跳，感觉概率的题目都不可做。

今天来死磕概率与期望啦。

（可能概率与期望只是个开头。以后会陆续复习一些数学知识。）

另外就是，我写这东西自己复习用的哇，严谨性什么的……

0/1：定义

定义函数$P(A)$表示A事件发生的可能性大小，称为概率测度。

则A是事件集合$F$的一个子集，并且所有事件$A$都可以看作是样本空间$\Omega$的一个子集，那么合法的三元组$(\Omega,F,P)$被称为概率空间。

好抽象啊不看不看。

$\Omega$：样本空间。$F$：事件全集。$P$：概率函数。

$F$与$\Omega$的区别：

$F={A,B,C}$，则$\Omega=\{\{A,B,C\},\{A,B\},\{B,C\},\{A,C\},\{A\},\{B\},\{C\},\varnothing \}$

0/2：条件概率公式

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

（$B$事件发生并且$A$事件的概率等于$B$事件发生情况下$A$、$B$同时发生的概率）

0/3：全概率公式

$P(A) = \sum\limits_{i} P(A | B_i) * P(B_i)$

基本思想：将事件$A$分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件$A$的概率。而将$A$分割时，并非对$A$直接进行分割，而是找到样本空间$\Omega$的一个划分，从而将$A$事件分成几个部分。

举个例子：P(我和remarkable有一个人很有钱)=P(这个人是remarkable)*P(remarkable很有钱|这个人是remarkable)+P(这个人是我)*P(我很有钱|这个人是我)

（以上柿子等价于：$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+0*0 $）

0/4：贝叶斯公式

$P(B_i | A)=\frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A | B_j)}$

基本思想：与全概率公式相反，贝叶斯公式是建立在大事件A已经发生了的基础上，分割中小事件$B_i$的概率。

柿子意义：计算在$A$事件发生的条件下发生$B_i$事件的概率。

0/5：期望

期望是“随机变量的期望”。

（啥是随机变量 /懵逼脸.jpg）

随机变量是定义在概率空间上的函数。随机试验的结果不同，随机变量的取值不同。

不同的基本结果可能导致随机变量取到相同的数值。

对于随机变量X，它的期望$E(X)=\sum$ 基本结果i发生的概率*发生基本结果i时X的数值，（i是一个基本结果）

期望具有可加性，也叫期望的线性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

（基础知识简单然而就是不会做题，赶紧找题刷去了……）

0/F：一些idea和题目题解乱堆

偶然看到一些题目，有的并不会，查了题解大概明白了。有的……好像并没有自己秒掉的。

你有一副扑克牌，$54$张，平均分成三堆，每堆$18$张，求大小王在同一堆的概率。

题解：设随机事件$A$为大小王在同一堆，$A_i$为大小王同在第$i$堆，则有：

$P(A)=P(A_1+A_2+A_3)$

根据概率的线性性：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(A_i)$

设$B_i$为大王在第$i$堆的概率，$S_i$为小王在第i堆的概率。

根据条件概率公式：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(B_i|S_i)*P(S_i)$

$=3*(17/53)*(1/3)=17/53$.

一共有n个牛肉堡，n个鸡肉堡，2n个人，求最后两人拿到同一种汉堡的概率

题解：事件“最后两人拿到同一种汉堡”不好想，我们可以想它的对立事件“最后两人拿到不同的汉堡”。

所以我们需要让前2n-2个人各自拿走n-1种汉堡。由于最后两种汉堡都剩下了一个，所以前面的每个人都会作出选择。

事件的全集就变成了$2^{2n-2}$，而我想要的事件是其中n-1个人拿了一种汉堡，$C_{2n-2}^{n-1}$即可。

答案为：$\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{2^{2n-2}}$

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