「题解」：07.16NOIP模拟T1：礼物

问题 A: 礼物

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题面

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题目描述

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。

商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种 礼物的喜悦值不能重复获得）。

每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。

众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。 

求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期 望购买次数。

输入

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。

接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。

输出

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。

第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数

样例输入

3

0.1 2

0.2 5

0.3 7

样例输出

14

12.167

提示

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1

考试心路历程

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看到概率与期望一脸懵逼，完全把概率与期望那点知识给忘干净了。

尝试硬推式子，把12.167来回除以样例输入中的数字，啥规律也没找到。。。

只好尝试去骗10%，结果没保留三位导致w0。

题解

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看到数据范围N<=20，状压dp的标志性数据范围。

正着枚举不好说，我们倒着考虑如何进行状态转移（我觉得主要是为了适应lowbit操作取出末位1）

所以我们的初始状态就是f[(1<<n)-1]，答案为f[0]。

$f[i]=\Sigma{p[k]*f[j]}$(j为比i多买一件物品的状态,k就是多买的那件物品)$+(1-\Sigma{p[k]})$（买到已经买到的或者买到空自己转移回自己的概率）$*f[i]+1$

两边都出现了f[i]，我们移项解决。

$f[i]=(\Sigma{p[k]*f[j]}+1)/(\Sigma{p[k]})$

然后转移就行了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#define rint register int
using namespace std;
int n;
long long wi[21],sum;
double qi[21],dp[(1<<20)+5];
inline long long lowbit(long long t){return t&(-t);}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(rint i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lf %lld",&qi[i],&wi[i]);
        sum+=wi[i];
    }
    for(rint i=(1<<n)-2;i>=0;--i)
    {
        double sm=0.0;
        for(rint j=1;j<=n;++j)
        {
            if(!((1<<(j-1))&i))
            {
                dp[i]+=qi[j]*dp[i|(1<<(j-1))];
                sm+=qi[j];
            }
        }
        dp[i]=(dp[i]+1)/sm;
    }
    printf("%lld\n%.3lf\n",sum,dp[0]);
}