波非那切数列
斐波那契数列介绍及Python中五种方法斐波那契数列
Q：斐波那契数列为什么那么重要，所有关于数学的书几乎都会提到？
A：因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。
1. 斐波那契数列 概念引入
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
数学上，斐波那契数列以递归的形式进行定义：
F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2 F_{0} = 0\\F_{1} = 1\\F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2
场景
先来开看看“兔子数列”以及其他数学应用场景！！
1. 1 兔子数列
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
1.2 排列组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
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斐波那契数列
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2. 数列数学方法解答
2.1 兔子繁殖问题
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
| 经过月数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 幼仔对数 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
| 成兔对数 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | |
| 总体对数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：
前面相邻两项之和，构成了后一项。
2.2 排列组合
2.2.1 跨楼梯组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
2.2.2 掷硬币不连续情形
一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是:
（1/√5)∗[(1+√5)/2](10+2)−[(1−√5)/2](10+2)=144（1/√5)∗[(1+√5)/2](10+2)−[(1−√5)/2](10+2)=144 （1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144
（1/√5)∗[(1+√5)/2](10+2)−[(1−√5)/2](10+2)=144
…
3. Python代码实现斐波那契数列
时间复杂度
空间复杂度
通过时间复杂度和空间复杂度评判代码的执行效率。
-
例如：从规模上来说，如果需要计算F(4)的值，需要进行9次元素操作
设T(n)为计算n的时间复杂度，那么
T(n)=T(n−1)+T(n−2)+O(1)T(n)=T(n−1)+T(n−2)+O(1) T(n) = T(n-1) + T(n-2)+O(1) T(n)=T(n−1)+T(n−2)+O(1)
一般情况，可以得出：T(n)<2∗T(n−1)+O(1)T(n)<2∗T(n−1)+O(1) T(n)< 2* T(n-1) + O(1) T(n)<2∗T(n−1)+O(1)粗略估算，T（n）<O（2n）T（n）<O（2n） T（n） < O（2^n） T（n）<O（2n），上述代码求解F(n)的计算，它的时间复杂度是$O(2^n)
3.1 python特有写法
打印正整数n之内的斐波那契数列
# Python特有， 常规写法
def fib(self, n):
a = 0
b = 1
while a <= n:
print(a, end=" ", flush=True)
a, b = b, a + b # python不借助变量交换两数的值
fib(100) # 求n之内的斐波那契数列时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1) 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1) 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)
3.2 递归
打印斐波那契数列前10位数字
# 递归
def fibonacci(i):
num_list = [0, 1]
if i < 2:
return num_list[i]
elif i >= 2:
return (fibonacci(i - 2) + fibonacci(i - 1))
print(fibonacci(10))时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n) 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n) 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
3.3 类对象
# 迭代的方式
class FibIterator(object):
"""斐波那契数列迭代器"""
def __init__(self, n):
"""
:param n: int, 指明生成数列的前n个数
"""
self.n = n
# current用来保存当前生成到数列中的第几个数了
self.current = 0
# num1用来保存前前一个数，初始值为数列中的第一个数0
self.num1 = 0
# num2用来保存前一个数，初始值为数列中的第二个数1
self.num2 = 1
def __next__(self):
"""被next()函数调用来获取下一个数"""
if self.current < self.n:
num = self.num1
self.num1, self.num2 = self.num2, self.num1+self.num2
self.current += 1
return num
else:
raise StopIteration
def __iter__(self):
"""迭代器的__iter__返回自身即可"""
return self
if __name__ == '__main__':
fib = FibIterator(10)
for num in fib:
print(num, end=" ")3.4 矩阵解决问题
从定义开始：
F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2 F_{0} = 0\\F_{1} = 1\\F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}
F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2
转化为矩阵形式
(Fn+1Fn)=(1110)∗(FnFn−1)(Fn+1Fn)=(1110)∗(FnFn−1) \begin{pmatrix}F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}F_{n}\\ F_{n-1} \end{pmatrix}
(Fn+1Fn)=(1110)∗(FnF