【2023.02.16】威佐夫博弈详解
威佐夫博弈详解
威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。——百度百科
威佐夫博弈，是博弈论的一道经典例题，题目大意是两个人在进行取子游戏，石子分为两堆，每堆有若干个石子，两个人按规则轮流取石子，先取完全部石子的人获胜。其中，规则如下：
- 每个人可以选择在同一堆石子中取任意个石子（可以全部取完），也可以在两堆石子中同时取相同个数的石子，但不可以不取。
那么，现在你作为先手，是否能够必胜呢（两人都具有绝对的智慧做出对自己最有利的选择）？
首先我们可以来分析一下这个问题中的奇异局势：
-
那么第一种想到必败的情况，肯定是（0,0）了。在（0,0）的情况中无论先手怎么走都不可能赢（
他压根走不了； -
第二种奇异局势的话通过计算可以得出是（1,2），当先手碰到（1,2）这种情况时，可以做出以下4种选择：
-
在第一堆石子中取一个石子，局面变为（0,2）；
这时，后手只需将第二堆全部的石子都取走便可获得胜利。 -
在第二堆石子中取一个石子，局面变为（1,1）；
这时，后手只需在两堆同时取走1个石子便可获得胜利。 -
在第二堆石子中取两个石子，局面变为（1,0）：
这时，后手只需将第一堆全部的石子都取走便可获得胜利。 -
在两堆中同时取走一个石子，局面变为（0,1）：
这时，后手只需将第二堆全部的石子都取走便可获得胜利。分析过后想必你也能看出来这是种必败的情况吧！
-
-
第三种奇异局势的话经过计算可以得出是（3,5），当先手碰到（3,5）这种情况时，可以做出以下11种选择：
-
在第一堆石子中取一个石子，局面变为（2,5）：
这时，后手只需在第二堆石子中取四个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第一堆石子中取两个石子，局面变为（1,5）：
这时，后手只需在第二堆石子中取三个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第一堆石子中取三个石子，局面变为（0,5）：
这时，后手只需将第二堆全部的石子都取走便可获得胜利。 -
在第二堆石子中取一个石子，局面变为（3,4）：
这时，后手只需在两堆中同时取两个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取两个石子，局面变为（3,3）：
这时，后手只需在两堆中同时取三个石子，局面变为（0,0），先手必败。 -
在第二堆石子中取三个石子，局面变为（3,2）：
这时，后手只需在两堆中同时取一个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取四个石子，局面变为（3,1）：
这时，后手只需在第一堆中取一个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取五个石子，局面变为（3,0）：
这时，后手只需将第一堆石子全部取走便可获得胜利。 -
在两堆石子中同时取走一个石子，局面变为（2,4）：
这时，后手只需在第二堆石子中取走三个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在两堆石子中同时取走两个个石子，局面变为（1,3）：
这时，后手只需在第二堆石子中取走一个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在两堆石子中同时取走三个石子，局面变为（0,2）：
这时，后手只需将第二堆石子中的全部石子都取走，便可获得胜利。自然，你也可以看出（3,5）这种情况先手是必败的！
-
-
第三种奇异局势经过计算我们可以得出是（4,7），先手碰到这种情况可以做出以下15种情况：
-
在第一堆石子中取一个石子，局面变为（3,7）：
这时，后手只需在第二堆石子中取两个石子，局面变为（3,5），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第一堆石子中取两个石子，局面变为（2,7）：
这时，后手只需在第二堆石子中取六个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第一堆石子中取三个石子，局面变为（1,7）：
这时，后手只需在第二堆石子中取五个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第一堆石子中取四个石子，局面变为（0,7）：
这时，后手只需将第二堆石子全部都取走便可获得胜利。 -
在第二堆石子中取一个石子，局面变为（4,6）：
这时，后手只需在两堆中同时取一个石子，局面变为（3,5），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取两个石子，局面变为（4,5）：
这时，后手只需在第一堆石子中取一个石子，局面变为（3,5），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取三个石子，局面变为（4,4）：
这时，后手只需在两堆中同时取四个石子便可获得胜利。 -
在第二堆石子中取四个石子，局面变为（4,3）：
这时，后手只需在两堆中同时取两个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取五个石子，局面变为（4,2）：
这时，后手只需在第一堆石子中取三个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取六个石子，局面变为（4,1）：
这时，后手只需在第一堆石子中取两个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在第二堆石子中取七个石子，局面变为（4,0）：
这时，后手只需将第一堆石子全部都取走即可获得胜利。 -
在两堆石子中同时取走一个石子，局面变为（3,6）：
这时，后手只需在第二堆石子中取走一个石子，局面变为（3,5），上文已经推理过了，先手必败。 -
在两堆石子中同时取走两个石子，局面变为（2,5）：
这时，后手只需在第二堆石子中取走四个石子，局面变为（2,1），上文已经推理过了，先手必败。 -
在两堆石子中同时取走三个石子，局面变为（1,4）：
这时，后手只需在第二堆石子中取走两个石子，局面变为（1,2），上文已经推理过了，先手必败。 -
在两堆石子中同时取走四个石子，局面变为（0,3）：
这时，后手只需将第二堆石子全部都取走即可获得胜利。嗯，在我详细的讲解下，你已经明白了威佐夫博弈大概需要怎么做了吧！
-
接下来的奇异局势就是（6,10），（8,13）…… 那么，聪明的你一定发现了：
每个奇异局势两堆石子的差就是1,2,3,4,5……n！
再仔细计算，你还可以发现什么？
每一组奇异局势的较小数都是之前未出现的最小的数字！详细看一下：
-
第一组奇异局势之前出现过0，所以较小数为1；
-
第二组奇异局势之前出现过0,1,2，所以较小数为3；
-
第三组奇异局势之前出现过0,1,2,3,5，所以较小数为4；
……以此类推。
再看看，你发现了什么？
$ 1 \approx(2-1)* 1.618;$
$ 3 \approx(5-3)* 1.618;$
$ 4 \approx(7-4)* 1.618;$
……以此类推。
没错！就是第一个值 = 差值 * 1.618！
那么综合以上几点，就可以得出来公式了：
公式：
若设两堆石子数较小的为x，较大的为y，差值为z的话：
设 w = \((int)((\sqrt{5}-1)/2*z);\)
若 w = x，则这种情况先手必败；否则先手必胜。
例题：
洛谷 P2252 [SHOI2002]取石子游戏|【模板】威佐夫博弈
裸的板子题，直接放代码了：
Link
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a;
int b;
int s;
int w;
inline int read(){
int s=0;
int w=1;
char ch;
ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-'){
w=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return s*w;
}
inline void write(int s){
if(s<0){
putchar('-');
s=~s+1;
}
if(s>9){
write(s/=10);
}
putchar(s+'0');
return ;
}
int main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
a=read();
b=read();
s=abs(b-a);
w=(int)(s*((sqrt(5)+1)/2));
if(w==min(a,b)){
cout<<"0";
//fclose(stdin);
//fclose(stdout);
return 0;
}
else{
cout<<"1";
//fclose(stdin);
//fclose(stdout);
return 0;
}
//fclose(stdin);
//fclose(stdout);
return 0;
}
//Taunting_Wind
解释：
奇异局势：即先手必败的局势。
完结撒花！！！
By Taunting_Wind
本文来自博客园，作者：Hzzxx，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/xinao2186182144/p/Taunting_Wind.html
