Data Structure 之 最优二叉树

      给定n个权值作为n的叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

      最优二叉树的总结点数为 2n - 1。

1、路径和路径长度

      在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长

度为L-1。

2、结点的权及带权路径长度

      若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

3、树的带权路径长度

      树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

构造最优二叉树的哈夫曼算法如下：
(1)根据给定的n个权值{wi，w2,…，wn}，构成n棵二叉树的集合T2,…， Tn},其中每棵二叉树乃中只有一个带权为％的根结点，其左右子树均空。
(2)在F中选取两棵权值最小的二叉树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，置新 构造二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和。
(3)从F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入到F中。
(4)重复(2)、(3)，直到F中只含一棵树时为止。这棵树便是最优二叉树（哈夫曼树）。

例如给定权值集合{8,5,2,6}根据题中给出的权值集合，构造哈夫曼树的过程如下图所示。