hdu 4059 The Boss on Mars 容斥原理
思路：
1.首先介绍下4次方的求和公式：S(n)=(6*n^5+15*n^4+10*n^3-n)/30.
2.n太大直接求1~n-1中与n互质的数会超时，那么就转换下思路，求不与n互质的数；
分析知道当某一个数不与n互质时，他的倍数也一定不与n互质，而且这个数与n具有公共的因子；
为了去掉重复的很容易想到容斥原理。
对于n=p1^a1*p2^a2*p3^a3……
与n不互质的数=(p1+2*p1……)+(p2+2*p2……)-(p1*p2+2*p1*p2……)……；
具体看代码：
1 #include<iostream> 2 #include<stdio.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<iomanip> 5 #include<cmath> 6 #include<cstring> 7 #include<vector> 8 #define ll long long 9 #define pi acos(-1.0) 10 #define MAX 1000001 11 #define mod 1000000007 12 using namespace std; 13 ll prime[MAX],cnt,fac[MAX],num,n; 14 ll ans1,res,inv; 15 bool f[MAX]; 16 void init() 17 { 18 ll i,j; 19 cnt=0; 20 for(i=2;i<MAX;i++){ 21 if(f[i]==0){ 22 prime[cnt++]=i; 23 for(j=i*i;j<MAX;j+=i) 24 f[j]=1; 25 } 26 } 27 } 28 ll pows(ll a,ll b) 29 { 30 ll ans=1; 31 while(b){ 32 if(b&1) ans=ans*a%mod; 33 b>>=1; 34 a=a*a%mod; 35 } 36 return ans%mod; 37 } 38 ll cal(ll m) 39 { 40 ll ans=(((6*pows(m,5)%mod+15*pows(m,4)%mod)%mod+10*pows(m,3)%mod)%mod-m+mod)%mod; 41 if(ans<0) ans=(ans%mod+ans)%mod; 42 ans=ans*inv%mod; 43 return ans; 44 } 45 void factor(ll m) 46 { 47 num=0; 48 for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=m;i++){ 49 if(m%prime[i]==0){ 50 fac[num++]=prime[i]; 51 m/=prime[i]; 52 while(m%prime[i]==0){ 53 m/=prime[i]; 54 } 55 } 56 } 57 if(m>1) fac[num++]=m; 58 } 59 void dfs(ll a,int m,int c) 60 { 61 if(a>=n) return ; 62 ll t=(ll)(n-1)/a; 63 ans1=(ans1+c*pows(a,4)%mod*cal(t)%mod)%mod; 64 if(ans1<0) ans1=(ans1%mod+mod)%mod; 65 for(int i=m+1;i<num;i++) 66 dfs((ll)a*fac[i],i,-c); 67 } 68 int main(){ 69 int t; 70 init(); 71 scanf("%d",&t); 72 inv=pows(30,mod-2); 73 while(t--){ 74 scanf("%lld",&n); 75 if(n==1){ 76 printf("1\n"); 77 continue; 78 } 79 factor(n); 80 ans1=0; 81 for(int i=0;i<num;i++) 82 dfs(fac[i],i,1); 83 res=cal(n-1); 84 res-=ans1; 85 while(res<0) res=(res%mod+mod)%mod; 86 printf("%lld\n",res); 87 } 88 return 0; 89 }
