P2085 最小函数值——小顶堆、贪心、重载运算符

题目描述

有 $n$ 个函数，分别为 $F_1,F_2,\dots ,F_n$。定义 $F_i(x)=A_i{x}^2+B_{i}x+C_i(x\in \mathbb{N}\ast )$。给定这些 $A_i$、$B_i$ 和 $C_i$，请求出所有函数的所有函数值中最小的 $m$ 个（如有重复的要输出多个）。

输入格式

第一行输入两个正整数 $n$ 和 $m$。

以下 $n$ 行每行三个正整数，其中第 $i$ 行的三个数分别为 $A_i$、$B_i$ 和 $C_i$。

输出格式

输出将这 $n$ 个函数所有可以生成的函数值排序后的前 $m$ 个元素。这 $m$ 个数应该输出到一行，用空格隔开。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 10
4 5 3
3 4 5
1 7 1

输出 #1

9 12 12 19 25 29 31 44 45 54

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n,m\le 10000$，$1\le A_i\le 10,B_i\le 100,C_i\le {10}^4$。

题解

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
 
// 定义结构体存储函数值、函数编号和当前 x 值
struct Node {
    int value;  // 函数值
    int funcIndex;  // 函数编号
    int x;  // 当前 x 值
    // 重载运算符，用于优先队列的比较
    bool operator>(const Node& other) const {
        return value > other.value;
    }
};
 
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
 
    // 存储每个函数的 A, B, C 参数
    vector<vector<int>> functions(n, vector<int>(3));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> functions[i][0] >> functions[i][1] >> functions[i][2];
    }
 
    // 定义小根堆
    priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> heap;
 
    // 初始化小根堆
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int A = functions[i][0];
        int B = functions[i][1];
        int C = functions[i][2];
        // 计算 x = 1 时的函数值
        int value = A * 1 * 1 + B * 1 + C;
        // 将 (函数值, 函数编号, 当前 x 值) 加入堆
        heap.push({value, i, 1});
    }
 
    // 存储结果
    vector<int> result;
    // 进行 m 次操作
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        // 取出堆中最小的函数值
        Node top = heap.top();
        heap.pop();
        result.push_back(top.value);
        // 计算下一个 x 值对应的函数值
        int A = functions[top.funcIndex][0];
        int B = functions[top.funcIndex][1];
        int C = functions[top.funcIndex][2];
        int nextX = top.x + 1;
        int nextValue = A * nextX * nextX + B * nextX + C;
        // 将新的函数值加入堆
        heap.push({nextValue, top.funcIndex, nextX});
    }
 
    // 输出结果
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if (i > 0) {
            cout << " ";
        }
        cout << result[i];
    }
    cout << endl;
 
    return 0;
}

贪心策略