P1182 数列分段 Section II——二分

题目描述

对于给定的一个长度为 $N$ 的正整数数列 $A_{1\sim N}$，现要将其分成 $M$（$M\le N$）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 $42451$ 要分成 $3$ 段。

将其如下分段：

$$[42][45][1]$$

第一段和为 $6$，第 $2$ 段和为 $9$，第 $3$ 段和为 $1$，和最大值为 $9$。

将其如下分段：

$$[4][24][51]$$

第一段和为 $4$，第 $2$ 段和为 $6$，第 $3$ 段和为 $6$，和最大值为 $6$。

并且无论如何分段，最大值不会小于 $6$。

所以可以得到要将数列 $42451$ 要分成 $3$ 段，每段和的最大值最小为 $6$。

输入格式

第 $1$ 行包含两个正整数 $N,M$。

第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的非负整数 $A_i$，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 3
4 2 4 5 1

输出 #1

6

说明/提示

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10$。

对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 1000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N\le {10}^5$，$M\le N$，$A_i<{10}^8$， 答案不超过 ${10}^9$。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
 
int n, m;
vector<int> a;
 
// 检查在每段和的最大值为 mid 的情况下，能否将数列分成不超过 m 段
bool check(int mid) {
    int segments = 1;  // 初始段数为 1
    int current_sum = 0;  // 当前段的和
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (current_sum + a[i] > mid) {
            // 如果加上当前元素后和超过 mid，开始新的一段
            segments++;
            current_sum = a[i];
        } else {
            // 否则，继续累加当前段的和
            current_sum += a[i];
        }
    }
 
    // 判断段数是否不超过 m
    return segments <= m;  // ★★★
}
 
int main() {
    cin >> n >> m;
    int a_max = 0;  // 记录数列中的最大值
    int a_sum = 0;  // 记录数列的总和
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int b;
        cin >> b;
        a.push_back(b);
        a_sum += b;
        a_max = max(a_max, b);
    }
 
    int left = a_max;  // 左边界为数列中的最大值
    int right = a_sum;  // 右边界为数列的总和
    int ans;
 
    // 二分查找每段和的最大值的最小值
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(mid)) {
            ans = mid;
            right = mid - 1;  // 尝试更小的最大值
        } else {
            left = mid + 1;  // 尝试更大的最大值
        }
    }
 
    cout << ans << endl;
    return 0;
}