P3853 [TJOI2007] 路标设置【模板】——二分查找

题目背景

B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第 $1$ 行包括三个数 $L,N,K$，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第 $2$ 行包括递增排列的 $N$ 个整数，分别表示原有的 $N$ 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 $[0,L]$ 内。

输出格式

输出 $1$ 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

输入输出样例 #1

输入 #1

101 2 1
0 101

输出 #1

51

说明/提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点 $50$ 或 $51$ 个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数 $51$。

$50\mathrm{\%}$ 的数据中，$2\le N\le 100$，$0\le K\le 100$。

$100\mathrm{\%}$ 的数据中，$2\le N\le 100000$, $0\le K\le 100000$。

$100\mathrm{\%}$ 的数据中，$0<L\le 10000000$。

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,n,k;
vector<int> a;
bool check(int mid) {
    int last_location=0;
    int put_count=0;
    for (size_t i=1;i<a.size();i++) {
        if (a[i]-last_location>mid) {
            put_count+=(a[i]-last_location-1)/mid; // ★注意-1，见注释
        }
        last_location = a[i];  // 更新上一个路标的位置为当前路标位置
        if (put_count>k) return false;
    }
    return true;
}
int main() {
    cin>>l>>n>>k;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        int b;
        cin>>b;
        a.push_back(b);
    }
    int left=1,right=l;
    int ans;
    while (left<=right) {
        int mid=left+(right-left)/2;
        if (check(mid)) {
            ans=mid;
            right=mid-1;
        } else {
            left=mid+1;
        }
    }
    cout<<ans;
}

下面的distance=a[i]-last_location

不减去 1 可能出现的问题

如果直接使用 distance / mid 来计算需要增设的路标数量，当 distance 恰好是 mid 的整数倍时，会多算一个路标。

例如，假设 distance = 6，mid = 2。如果不减去 1，计算 distance / mid = 6 / 2 = 3，但实际上在这两个相邻原有路标之间，为了使相邻路标距离最大为 2，只需要增设 2 个路标就可以将这段距离分成 3 段，每段长度为 2。

减去 1 的原理

使用 (distance - 1) / mid 可以避免上述多算路标的问题。当 distance 是 mid 的整数倍时，(distance - 1) 就不是 mid 的整数倍了，计算得到的结果就是正确的需要增设的路标数量。

还是以 distance = 6，mid = 2 为例，计算 (distance - 1) / mid = (6 - 1) / 2 = 2，这就是正确的需要增设的路标数量。

当 distance 不是 mid 的整数倍时，减去 1 也不影响最终结果。比如 distance = 7，mid = 2，distance / mid = 3，(distance - 1) / mid = (7 - 1) / 2 = 3，结果是一样的。