P1002 [NOIP 2002 普及组] 过河卒——动态规划

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，$A$ 点 $(0,0)$、$B$ 点 $(n,m)$，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 6 3 3

输出 #1

6

说明/提示

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n,m\le 20$，$0\le$ 马的坐标 $\le 20$。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

题解

这是一道典型的动态规划问题，关键在于利用动态规划的思想，通过逐步计算从起点到每个点的路径数，并考虑马的控制点不能通过。

解析

1. 状态定义：
   • 设 dp[i][j] 表示从 A(0, 0) 点到 (i, j) 点的路径条数。
   • 初始状态：dp[0][0] = 1，因为起点本身有一条路径（即不移动）。
2. 状态转移方程：
   • 对于非马控制点的点 (i, j)，它可以从上方 (i - 1, j) 或左方 (i, j - 1) 到达。
   • 所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]（当 i > 0 且 j > 0 时）。
   • 当 i == 0 && j > 0 时，dp[i][j] = dp[i][j - 1]，即只能从左方到达。
   • 当 j == 0 && i > 0 时，dp[i][j] = dp[i - 1][j]，即只能从上方到达。
3. 马控制点处理：
   • 马的控制点及其自身设为不可达，即 dp[i][j] = 0。
   • 马能控制的点包括马自身以及马按 “日” 字走法能到达的点。例如马在 (x, y)，则马能控制的点有 (x + 1, y + 2), (x + 2, y + 1), (x - 1, y + 2), (x - 2, y + 1), (x + 1, y - 2), (x + 2, y - 1), (x - 1, y - 2), (x - 2, y - 1), (x, y)。

代码实现（Python）

n, m, x, y = map(int, input().split())
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
# 标记马的控制点
horse_control = [(x, y), (x + 1, y + 2), (x + 2, y + 1), (x - 1, y + 2), (x - 2, y + 1), (x + 1, y - 2), (x + 2, y - 1), (x - 1, y - 2), (x - 2, y - 1)]
for i, j in horse_control:
    if 0 <= i <= n and 0 <= j <= m:
        dp[i][j] = -1
# 初始化起点
dp[0][0] = 1 if dp[0][0]!= -1 else 0
for i in range(n + 1):
    for j in range(m + 1):
        if dp[i][j] == -1:
            continue
        if i > 0 and dp[i - 1][j]!= -1:
            dp[i][j] += dp[i - 1][j]
        if j > 0 and dp[i][j - 1]!= -1:
            dp[i][j] += dp[i][j - 1]
print(dp[n][m])

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 25;
long long dp[N][N];
bool horse_control[N][N];
int main() {
    int n, m, x, y;
    cin >> n >> m >> x >> y;
    memset(horse_control, false, sizeof(horse_control));
    horse_control[x][y] = true;
    int dx[] = {1, 2, -1, -2, 1, 2, -1, -2};
    int dy[] = {2, 1, 2, 1, -2, -1, -2, -1};
    for (int i = 0; i < 8; ++i) {
        int new_x = x + dx[i];
        int new_y = y + dy[i];
        if (new_x >= 0 && new_x <= n && new_y >= 0 && new_y <= m) {
            horse_control[new_x][new_y] = true;
        }
    }
    dp[0][0] = horse_control[0][0]? 0 : 1;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            if (horse_control[i][j]) {
                continue;
            }
            if (i > 0 &&!horse_control[i - 1][j]) {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j];
            }
            if (j > 0 &&!horse_control[i][j - 1]) {
                dp[i][j] += dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

最终答案即为 dp[n][m]，它表示从 A 点到 B 点的路径条数。