二分答案

二分答案是一种高效的算法技巧，通常用于解决最优化问题，尤其是当问题具有单调性时。它的核心思想是通过二分查找来快速缩小答案的范围，从而找到最优解。

适用场景

二分答案常用于以下类型的问题：

1. 最大值最小化或最小值最大化问题。
2. 问题具有单调性，即当答案增大或减小时，问题的可行性会呈现单调变化。
3. 直接求解问题较为复杂，但可以通过给定答案快速验证其可行性。

算法步骤

1. 确定搜索范围：根据问题的性质，确定答案的可能范围 [left, right]。
2. 二分查找：
   • 计算中间值 mid = left + (right - left) / 2。
   • 检查 mid 是否满足条件（即验证可行性）。
   • 如果满足条件，尝试寻找更优的解（缩小右边界 right = mid）。
   • 如果不满足条件，调整左边界 left = mid + 1。
3. 终止条件：当 left 和 right 相遇时，找到最优解。

代码模板

以下是二分答案的通用代码模板（以 C++ 为例）：

int binarySearchAnswer(int left, int right) {
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(mid)) { // 检查 mid 是否满足条件
            right = mid;  // 满足条件，尝试更小的值
        } else {
            left = mid + 1; // 不满足条件，尝试更大的值
        }
    }
    return left; // 返回最优解
}
 
bool check(int mid) {
    // 根据问题实现具体的检查逻辑
    // 返回 true 或 false
}

示例问题

问题：分割数组的最大值

给定一个数组 nums 和一个整数 k，将数组分成 k 个连续子数组，使得每个子数组的和的最大值最小化。

解题思路

1. 确定搜索范围：
   • 最小可能值：数组中的最大值（每个子数组至少包含一个元素）。
   • 最大可能值：数组的总和（整个数组作为一个子数组）。
2. 二分查找：
   • 对于每个 mid，检查是否可以将数组分成 k 个子数组，且每个子数组的和不超过 mid。
3. 验证函数：
   • 遍历数组，累加元素，当累加和超过 mid 时，分割一个新的子数组。
   • 如果分割的子数组数量不超过 k，则 mid 可行。

代码实现

int splitArray(vector<int>& nums, int k) {
    int left = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    int right = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
 
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (canSplit(nums, k, mid)) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}
 
bool canSplit(vector<int>& nums, int k, int maxSum) {
    int sum = 0, count = 1;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
        if (sum > maxSum) {
            sum = num;
            count++;
            if (count > k) return false;
        }
    }
    return true;
}

总结

二分答案的关键在于：

1. 确定答案的搜索范围。
2. 实现一个高效的验证函数 check(mid)。
3. 通过二分查找快速缩小范围，找到最优解。

通过练习经典问题（如分割数组、最小化最大值等），可以更好地掌握这一技巧。