“牛吃草”问题
牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天,供6头牛吃几天?”这题很简单,用3×10÷6=5(天),如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。因为草每天走在生长,草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了。
【例题1】
一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?
这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份,那么27头牛6周需要吃27×6=162(份),此时新草与原有的草均被吃完;23头牛9周需吃23×9=207(份),此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和;207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为:(207-162)÷(9-6)=15(份),所以,原有草的数量为:162-15×6=72(份)。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供21 头牛吃72÷(21-15)=12(周)
【例题2】
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?
与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少,但是,我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份,20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,100-90=10(份),说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份,也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草,所以原有草两有(20+10)×5=150(份),由150÷10=15知道,牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草,所以可供5头牛吃10天。
【例题3】
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。问:该扶梯共有多少级台阶?
与前两个题比较,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分:一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100(级),女孩6分钟走了15×6=90(级),女孩比男孩少走了100—90=10(级),多用了6—5=1(分钟),说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以,扶梯共有(20+10)×5=150(级)
【例题4】
一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水,3小时舀完。如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完,需要多少人?
已漏进的水,加上3小时漏进的水,每小时需要(12×3)人舀完,也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水,加上10小时漏进的水,每小时需要(5×10)人舀完,也就是50人用1小时才能舀完。通过比较,我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水,2个人用1小时能舀完:
(5×10—12×3)÷(10—3)=2
已漏进的水:(12—2)×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水,需34人1小时完成:
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人:34÷2=17(人)
【例题5】
有三块草地,面积分别为5,6,和8公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天?
前几天我们接触的是在同一块草地上,同一个水池中,现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。即[来源:学,科,网]
[5,6,8]=120
这样,第一块5公顷可供11头牛吃10天,120÷5=24,变为120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天,120÷6=20,变为120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天。
120÷8=15。问题变成:120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?[来源:Zxxk.Com]
因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为:
一块草地匀速生长,可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天,那么可供285头牛齿及天?即
每天新长出的草:(240×14—264×10)÷(14—10)=180(份)
草地原有草:(264—180)×10=840(份)
可供285头牛吃的时间:840÷(285—180)=8(天)
答:第三块草地可供19头牛吃8天。