强连通分量算法Tarjan学习笔记
强连通
如果在有向图中，\(u\) 与 \(v\) 存在一种路径，而 \(v\) 与 \(u\) 也存在一条路径，那么称\(u\)与\(v\)强连通。
如果任意两点都强连通，那么称这个图为强连通图。
如果一个非强连通图中存在一个最大的强连通图，那么称这个子图为 强连通分量。
比如说下图，1与2强连通，\(Edge\{1,2,3\}\)是强连通图，也是整个图的强连通分量。
Tarjan
tarjan算法基于图的深度优先搜索（DFS）。每一个可能的强联通分类都是搜索树中的一棵子树。
搜索时，把当前搜索树中未处理的节点放入一个栈，回溯时判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
一些定义
\(DFN(u)\) ：搜索到节点 \(u\) 时的次序。（换句话说，就是搜索的时间戳）。
\(LOW(u)\) 为 \(u\) 或 \(u\) 的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序。
步骤
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当第一次搜索到点u时 \(DFN[u]=LOW[u]=time\) ;
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每搜索到一个点，就把该点压入栈（顶）;
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当u和v有边相连时:如果v不在栈中（树枝边），搜索 \(v\) 节点，并且 \(LOW[u] = min\{LOW(u),LOW(v)\}\) ;如果 \(v\) 在栈中（前向边/后向边），此时 \(LOW[u] = min\{LOW[u],DFN[v]\}\) 。
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当 \(DFN[u]=LOW[u]\) 时 ，将它以及在它之上的元素弹出栈，此时，弹出栈的结点就构成一个强连通分量;
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继续搜索，直到整张图搜索完毕。
这个算法，每条边只会遍历一次，每个点也只会遍历一次，因此如果令边数为 \(n\)，点数为 \(m\)，那么Tarjan算法的时间复杂度就是 \(O(n+m)\)。是一种非常高效的算法。
鸣谢
参考资料如下：
