强连通分量算法Tarjan学习笔记

强连通

如果在有向图中，$u$ 与 $v$ 存在一种路径，而 $v$ 与 $u$ 也存在一条路径，那么称$u$与$v$强连通。

如果任意两点都强连通，那么称这个图为强连通图。

如果一个非强连通图中存在一个最大的强连通图，那么称这个子图为 强连通分量。

比如说下图，1与2强连通，$Edge\{1,2,3\}$是强连通图，也是整个图的强连通分量。

Tarjan

tarjan算法基于图的深度优先搜索（DFS）。每一个可能的强联通分类都是搜索树中的一棵子树。

搜索时，把当前搜索树中未处理的节点放入一个栈，回溯时判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

一些定义

$DFN(u)$ ：搜索到节点 $u$ 时的次序。（换句话说，就是搜索的时间戳）。

$LOW(u)$ 为 $u$ 或 $u$ 的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序。

步骤

• 当第一次搜索到点u时 $DFN[u]=LOW[u]=time$ ;

• 每搜索到一个点，就把该点压入栈（顶）;

• 当u和v有边相连时:如果v不在栈中（树枝边），搜索 $v$ 节点，并且 $LOW[u] = min\{LOW(u),LOW(v)\}$ ;如果 $v$ 在栈中（前向边/后向边），此时 $LOW[u] = min\{LOW[u],DFN[v]\}$ 。

• 当 $DFN[u]=LOW[u]$ 时 ，将它以及在它之上的元素弹出栈，此时，弹出栈的结点就构成一个强连通分量;

• 继续搜索，直到整张图搜索完毕。

这个算法，每条边只会遍历一次，每个点也只会遍历一次，因此如果令边数为 $n$，点数为 $m$，那么Tarjan算法的时间复杂度就是 $O(n+m)$。是一种非常高效的算法。

鸣谢

参考资料如下：

• 史上最清晰的Tarjan算法详解 - SegmentFault 思否