对于ST表研究

ST表概论

ST表是一个基于倍增思想的算法。不支持任何形式的修改，支持区间查询。

其中，维护的信息需要满足结合律和幂等律。

• 结合律：对于一个操作 \(\text{opt}(\alpha,\beta)\)，有 \(\text{opt}(x,\text{opt}(y,z)) = \text{opt}(\text{opt}(x,y),z)\)。

• 幂等律：对于一个操作 \(\text{opt}(\alpha,\beta)\)，有 \(\text{opt}(x,x)=x\)。

显然，以下操作支持ST表：

• 最值，\(\max\) 和 \(\min\)。
• \(\gcd\) 与 \(\text{lcm}\)。
• 按位 \(\text{and},\text{or}\)

思想

以下以区间 \(\max\) 举例，其他操作类似。

令 \(f[i][j]=\max\{ i \to i+2^{j}-1\}\)

显然有 \(f[i][0]=a_i\)。

初始化

递推式为：\(f[i][j]=f[i][j-1]+f[i+2^{j-1}][j-1]\)。

查询

对于查询 \([l,r]\)，令 \(k=[\log_{2}(r-l+1)]\)

\(\max\{l \to r\} = \max\{ f[l][l+2^s-1], f[r-2^s+1][r]\}\)。

复杂度

预处理时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

查询时间复杂度 \(O(1)\)。

优势与劣势

优：代码简单，不难背诵，效率高。

劣：不支持修改，需要幂等律。

模板

P3865 【模板】ST 表

求区间最大值。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int STTable[1000005][25];

int max(int x, int y){
	if(x>y){
		return x;
	}
	else{
		return y;
	}
}

inline int read() {
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') {
		if (ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int query(int l,int r) {
	int k=log2(r-l+1);
	return max(STTable[l][k],STTable[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main() {
	int N=read(),M=read();
	for(int i=1; i<=N; i++) {
		STTable[i][0] = read();
	}
	for(int j=1; j<=21; j++) {
		for(int i=1; i+(1<<j)-1<=N; i++) {
			STTable[i][j]=max(STTable[i][j-1],STTable[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
	for(int i=1; i<=M; i++) {
		int l=read(),r=read();
		printf("%d\n",query(l,r));
	}
	return 0;
}