P7302 [NOI1998] 免费的馅饼
题面
SERKOI 最新推出了一种叫做 “免费馅饼” 的游戏：游戏在一个舞台上进行。舞台的宽度为 \(w\) 格（从左到右依次用 \(1\sim w\) 编号），游戏者占一格。开始时游戏者可以站在舞台的任意位置，手里拿着一个托盘。下图为天幕的高度为 \(4\) 格时某一个时刻游戏者接馅饼的情景。
游戏开始后，从舞台天幕顶端的格子中不断出现馅饼并垂直下落。游戏者左右移动去接馅饼。游戏者每秒可以向左或者向右移动一格或两格，也可以以站在原地不动。
当馅饼在某一时刻恰好到达游戏者所在的格子中，游戏者就收集到了这块馅饼。当馅饼落在一个游戏者不在的格子里时该馅饼就消失。
写一个程序，帮助我们的游戏者收集馅饼，使得所收集馅饼的分数之和最大。
思路
免费的馅饼，免费的陷阱。
1.贪心做法
先对原数据排序（优先时间从小到大，然后是价值从大到小）。然后跑贪心。先选第一个，然后如果时间足够移动就移动。
时间复杂度是 \(O(n\log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Pie{
int t,p,v;
} a[100005],last;
int w,n,ans;
bool cmp(Pie x,Pie y){
if(x.t==y.t){
return x.v>y.v;
}
else{
return x.t<y.t;
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>w>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i].t>>a[i].p>>a[i].v;
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
last=a[1];
ans=a[1].v;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(2*(a[i].t-last.t)>=abs(a[i].p-last.p)){
ans+=a[i].v;
last=a[i];
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
可以水 \(50\) 分。
为什么不是满分，因为本题贪心没有最优解。
2.暴力DP
不难推出，如果设 \(f[i]\) 为接住 第 \(i\) 个节点，那么枚举 \(j \in [1,i)\)。
方程为:
当然，如果要接得到，需要满足 ：
最后的答案就是 ：
当然，边界条件为
时间复杂度是 \(O(n^2)\)。
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100005];
int w,n,ans;
struct pie{
int t,p,v;
bool operator<(const pie nth) const {
return t<nth.t;
}
} pies[100005];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>w>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>pies[i].t>>pies[i].p>>pies[i].v;
}
sort(pies+1,pies+n+1);
f[1]=pies[1].v;
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=pies[i].v;
for(int j=1;j<i;j++){
if(2*(pies[i].t-pies[j].t)>=abs(pies[i].p-pies[j].p)){
f[i]=max(f[i],f[j]+pies[i].v);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(f[i],ans);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
可以水 \(85\) 分。
（开O2 就 \(90\) 分了）。
3.树状数组优化DP（正解）
可以考虑对DP方程的条件进行整理，可以得出:
\(p[i]+2 \times t[i] \le p[j]+2 \times t[j] \text{ when }(p[i]-p[j]) \ge 0\)。
\(p[i]-2 \times t[i] \le p[j]+2 \times t[j] \text{ when }(p[i]-p[j]) \lt 0\)。
然后只需要对 \(p[i]-2\times t[i]\) 排序，按 \(p[i]+2\times t[i]\) 离散化 为 \(x[i]\) 。然后建一个维护最大值的树状数组，每次 \(f[i]\) 的更新只需要是 \(f[i]=\max_{i=1}^{x[i]}+a[i].v\) ，更新 \(x[i]\) 为 \(f[i]\) ，然后就统计答案。
时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。
老师的做法，我也是半知半懂
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct pies {
int t, p, v, x;
} a[100010];
int tmp[100010], f[100010], n,w;
int tree[100010];
bool cmp(pies a, pies b) {
return a.p - 2 * a.t >= b.p - 2 * b.t;
}
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void update(int x, int a) {
for (int i = x ; i <= n ; i += lowbit(i)) {
tree[i] = max(tree[i], a);
}
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x ; i ; i = i - lowbit(i)) {
ans = max(ans, tree[i]);
}
return ans;
}
int ans = 0;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>w>>n;
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
cin >> a[i].t >> a[i].p >> a[i].v;
tmp[i] = a[i].p + 2 * a[i].t;
}
sort(tmp + 1, tmp + n + 1);
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
a[i].x = lower_bound(tmp + 1, tmp + n + 1, a[i].p + 2 * a[i].t) - tmp;
}
sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
f[i] = query(a[i].x) + a[i].v;
update(a[i].x, f[i]);
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
