P5142 区间方差

题面

对于一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,a_3\cdots a_n\)，我们定义它的平均数 \(a\) 为:

\[a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i \]

并定义它的方差 \(d\) 为:

\[d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i-a)^2 \]

现在给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(b_1,b_2\cdots b_n\)。你需要支持两种操作。每种操作的格式为 c x y。

若 \(c=1\)，为修改操作，代表将 \(b_x\) 赋值为 \(y\)。

若 \(c=2\)，为查询操作，代表查询 \(b_x\) 到 \(b_y\) 的方差。

为了避免浮点数误差，请以分数取模形式输出结果（对 1000000007（\(10^9+7\)）取模）。

输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)，代表序列 \(b\) 的长度为 \(n\)，有 \(m\) 个操作。

第二行 \(n\) 个整数 \(b_i\)，表示序列 \(b\) 的初始值。

下面有 \(m\) 行整数，每行格式为 c x y，含义如上文所示。保证所有操作合法。

输出格式

对于每个操作 2，输出一行。

数据规模与约定

• 对于 \(50\%\) 的数据，\(n\leq 1000\)，\(m\leq 1000\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n,m\leq 1\times 10^5\)，\(1\leq b_i\leq 1\times 10^9\)，\(1\leq x\leq n\)。对于操作 1，\(1\leq y\leq 1\times 10^9\)。对于操作2，\(x\leq y\leq n\)。

思路

这道题可以用树状数组维护。

维护两个树状数组，一个求和，一个求平方和。

对于单点修改，直接模拟单点加即可。

对于求方差，可以把式子变一下形。然后除法用逆元代替。逆元可以用快速幂求。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int SIZE = 1e5+5;
const int MOD = 1e9+7;
int a[SIZE],n,m;

struct bit{
	int t[SIZE];
	
	void update(int p,int v){
		while(p<=n){
			t[p]+=v;
			t[p]%=MOD;
			p+=(p&-p);
		}
	}
	
	int query(int p){
		int result=0;
		while(p>0){
			result+=(t[p]%MOD);
			result%=MOD;
			p-=(p&-p);
		}
		return result;
	}
} bit1,bit2;

int power(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1){
			res=res*a%MOD;
		}
		a=a*a%MOD;
		b=b>>1;
	}
	return res;
}

signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[i]%=MOD;
		bit1.update(i,(a[i]*a[i])%MOD);
		bit2.update(i,a[i]);
	}
	while(m--){
		int op,l,r;
		cin>>op>>l>>r;
		if(op==1){
			bit1.update(l,(r*r%MOD-a[l]*a[l]%MOD+MOD)%MOD);
			bit2.update(l,(r-a[l]+MOD)%MOD);
			a[l]=r;
		}
		else{
			if(l==r){
				const char enld = '\n';
				cout<<0<<enld;
				continue;
			}
			int tmp1=(bit1.query(r)-bit1.query(l-1)+MOD)%MOD;
			int tmp2 = (bit2.query(r)-bit2.query(l-1)+MOD)%MOD;
			int ans=((tmp2*tmp2%MOD)*(power(r-l+1,MOD-2)*power(r-l+1,MOD-2)%MOD))%MOD;
			ans=(((tmp1*power(r-l+1,MOD-2)%MOD-ans)%MOD)+MOD)%MOD;
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
}