P4139 上帝与集合的正确用法

题面

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做元。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作 $\alpha$ 。 $\alpha$ 被定义为元构成的集合。容易发现，一共有两种不同的 $\alpha$ 。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作 $\beta$ 。 $\beta$ 被定义为 $\alpha$ 构成的集合。容易发现，一共有四种不同的 $\beta$。

第四天，上帝创造了新的元素 $\gamma$，$\gamma$ 被定义为 $\beta$ 的集合。显然，一共会有 $16$ 种不同的 $\gamma$。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有 $65536$ 种，第五种元素将会有 $2^{65536}$种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素 $\theta$ 时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素 $\theta$ 一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从 $\alpha$ 到 $\theta$ 一共创造了 $10^9$ 次元素，或 $10^{18}$ 次，或者干脆 $\infty$ 次。

一句话题意：

定义 $a_0=1,a_n=2^{a_{n-1}}$，可以证明 $a_n\bmod p$ 在 $n$ 足够大时为常数，求这个常数。

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示数据个数。

接下来 $T$ 行，每行一个正整数 $p$，代表你需要取模的值。

输出格式

$T$ 行，每行一个正整数，为答案对 $p$ 取模后的值。

提示说明

对于 $100\%$ 的数据，$T\le 10^3$，$p\le10^7$。

思路

【模板】欧拉定理。

欧拉定理如下：

$$a^{b} = a^{b \mod φ(p)+φ(p)} \pmod{p}$$

还有一个特例，就是：

$$a^{b} = a^{b \mod φ(p)} \pmod{p}\ (\ b \lt φ(p)\ )$$

但是，题目的式子满足的是 $b \ge φ(p)$。所以只能用通用式子。

（写代码时为了快，复制了UVA11424 GCD - Extreme (I) 的phi函数筛，以及一道题的快速幂）

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int phi[10000005];

int pow(int a,int b,int mod) {
	#define MAG (1ll)
	int ans=1;
	for(; b; b>>=1,a=MAG*a*a%mod) {
		if(b&1) {
			ans=MAG*ans*a%mod;
		}
	}
	#undef MAG
	return ans;
}


void phi_table(int n) {
  memset(phi,0,sizeof(phi));
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!phi[i]) {
      for (int j = i; j <= n; j += i) {
        if (!phi[j]) {
          phi[j] = j;
        }
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
      }
    }
  }
}

int solve(int p){
	if(p==1){
		return 0;
	}
	else{
		return pow(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
	}
}

int main(){
	phi_table(1e7);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int p;
		cin>>p;
		cout<<solve(p)<<'\n';
	}
	return 0;
}