P3382 【模板】三分法

题目

如题,给出一个 \(N\) 次函数，保证在范围 \([l, r]\) 内存在一点 \(x\)，使得 \([l, x]\) 上单调增，\([x, r]\) 上单调减。试求出 \(x\) 的值。

思路

本题可以用导数做，(逃

首先，一个 \(N\) 次函数无非就是 一个这样的函数：

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} \]

而根据导数加法法则可以知道，加法函数满足这样的一个性质：

\[(f(x)+g(x)+h(x)+i(x)+...)^{'} = (f^{'}(x)+g^{'}(x)+h^{'}(x)+i^{'}(x)+...) \]

因此我们就把他转换成一个求 \(a_{i}x^{i}\) 的导数的问题了。

注意常数的导数为0.

而计算可知，\((a_{i}x^{i})^{'}=a_iix^{i-1}\)，所以多项式的函数就变成了

\[f^{'}(x)=\sum_{i=1}^{n} a_iix^{i-1} \]

话说为什么要用导数呢？

应为导数的性质告诉我们，一个函数如果区间递增那么导数值要大于等于0！反之就是小于等于0！

可以二分了！

注意，可能会有浮点数误差!

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int double
using namespace std;

int n,l,r,a[15];
int eps=1e-10,mid;

int derivative(int x){
	int result=0;
	for(signed i=1;i<=n;i++){
		result+=a[i]*i*pow(x,i-1);
	}
	return result;
}

signed main(){
	cin>>n>>l>>r;
	for(signed i=n;i>=0;i--){
		cin>>a[i];
	}
	while(r-l>eps){
		mid=(l+r)/2;
		if(derivative(mid)>0){
			l=mid;
		}
		else{
			r=mid;
		}
	}
	printf("%.5lf",mid);
	return 0;
}