P3243 [HNOI2015]菜肴制作
题面
知名美食家小 A 被邀请至 ATM 大酒店，为其品评菜肴。ATM 酒店为小 A 准备了 \(n\) 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予 \(1\) 到 \(n\) 的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为 \(1\)。
由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 \(m\) 条形如 \(i\) 号菜肴必须先于 \(j\) 号菜肴制作的限制，我们将这样的限制简写为 \((i,j)\)。
现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A 能尽量先吃到质量高的菜肴：
也就是说，
-
在满足所有限制的前提下，\(1\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号菜肴尽量优先制作的前提下，\(2\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号和 \(2\) 号菜肴尽量优先的前提下，\(3\) 号菜肴尽量优先制作。
-
在满足所有限制，\(1\) 号和 \(2\) 号和 \(3\) 号菜肴尽量优先的前提下，\(4\) 号菜肴尽量优先制作。
-
以此类推。
例 1：共 \(4\) 道菜肴，两条限制 \((3,1)\)、\((4,1)\)，那么制作顺序是 \(3,4,1,2\)。
例 2：共 \(5\) 道菜肴，两条限制 \((5,2)\)、\((4,3)\)，那么制作顺序是 \(1,5,2,4,3\)。
例 1 里，首先考虑 \(1\)，因为有限制 \((3,1)\) 和 \((4,1)\)，所以只有制作完 \(3\) 和 \(4\) 后才能制作 \(1\)，而根据 3，\(3\) 号又应尽量比 \(4\) 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 \(3,4,1\)；接下来考虑 \(2\)，确定最终的制作顺序是 \(3,4,1,2\)。
例 \(2\) 里，首先制作 \(1\) 是不违背限制的；接下来考虑 \(2\) 时有 \((5,2)\) 的限制，所以接下来先制作 \(5\) 再制作 \(2\)；接下来考虑 \(3\) 时有 \((4,3)\) 的限制，所以接下来先制作 \(4\) 再制作 \(3\)，从而最终的顺序是 \(1,5,2,4,3\)。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出 Impossible!（首字母大写，其余字母小写）
分析
如果将做菜变成一个有向无环图（DAG），那么Impossible!的情况就是出现了闭环，不是DAG了。
那剩下的呢？用拓扑排序，怎么拓扑呢？设编号小的菜为 \(a\)，编号大的菜为 \(b\)。我们想要 \(a\) 尽量往前靠，可贪心很容易举出反例，这样做不好。那么换种方向，我们让 \(b\) 尽量往后靠，不论\(b\) 具体在哪，我们都保证 \(a\) 在前面，因此就需要反向跑拓扑。让 \(b\) 连向 \(a\)，跑反图的拓扑。
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define cclear(x) memset((x),0,sizeof((x)))
#define final const
using namespace std;
const int MAXN = (1e5+5);
int n,m,cnt;
int indeg[MAXN],ans[MAXN];
vector<int> edge[MAXN];
inline void toposort(){
priority_queue<int> pq;
//大根堆的初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!indeg[i]){
pq.push(i);
}
}
while(!pq.empty()){
final int tmp=pq.top();
pq.pop();
ans[++cnt]=tmp;
for(int it:edge[tmp]){
indeg[it]--;
if(!indeg[it]){
pq.push(it);
}
}
}
}
int main(){
int t;
cin>>t;
while(t--){
// 清除残余的数据
cnt=0;
cclear(ans);
cclear(indeg);
for(int i=1;i<=n;i++){
edge[i].clear();
}
cin>>n>>m;
for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
cin>>x>>y;
edge[y].push_back(x); // 反向建图
indeg[x]++;
}
// 跑一遍拓扑排序
toposort();
if(cnt<n){
cout<<"Impossible!";
}
else{
for(int i=n;i>=1;i--){
// 反向建图当然要倒序输出
cout<<ans[i]<<' ';
}
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
鸣谢
参考资料：
