P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易

题面

$C$ 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路，每条道路连接这个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。

$C$ 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 n 个城市的标号从 $1~ n$ ，阿龙决定从 $1$ 号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 $C$ 国有 $5$ 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1~n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4,3,5,6,1$ 。

阿龙可以选择如下一条线路： $1$ -> $2$ -> $3$ -> $5$ ，并在 $2 3$ 的价格买入水晶球，在号城市以 $5$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 $1$ -> $4$ -> $5$ -> $4$ ->，并在第$1 5 $号城市时以$ 1 $的价格买入水晶球，在第次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $5$ 。

现在给出 $n $个城市的水晶球价格，$ m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

分析

可以使用图上深度优先搜索（DFS）+DP来做。

DFS

DFS的流程：

DP

如果设 $f[x]$ 为走到 $x$ 时赚的最大旅费，那么有方程如下：

$f[x]=max(f[pre],c[x]-minx)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> edge[100005];
int n,m,f[100005],mi[100005],c[100005];

void dfs(int x,int minx,int pre){
	bool flag=false;
	minx=min(c[x],minx);
	if(mi[x]>minx){
		mi[x]=minx;
		flag=true;
	}
	int maxx=max(f[pre],c[x]-minx);
	if(f[x]<maxx){
		f[x]=maxx;
		flag=true;
	}
	if(!flag){
		return;
	}
	for(int i=0;i<edge[x].size();i++){
		dfs(edge[x][i],minx,x);
	}
}
int main(){
	memset(mi,0x3f,sizeof(mi));
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int kkksc03,chen_zhe,pinkrabbit;
		cin>>kkksc03>>chen_zhe>>pinkrabbit;
		edge[kkksc03].push_back(chen_zhe);
		if(pinkrabbit==2){
			edge[chen_zhe].push_back(kkksc03);
		}
	}
	dfs(1,0x3f3f3f3f,0);
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}