P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

题面

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

推导DP方程

可以用一个简单地四维DP

设$f[i][j][k][l]$为小渊传给小轩到达$(i,j)$，小轩传给小渊到达$(k,l)$时路径上同学的最大好心程度和。

由于从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递，所以方程只要有四个状态就可以了。

$$f[i][j][k][l]=max\{f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] \}+a[i][j]+a[k][l]$$

复杂度为$O(n^2m^2)$，$50$的数据量可以水过。

奉上源代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int SIZE = 55;
int n,m;
int f[SIZE][SIZE][SIZE][SIZE],a[SIZE][SIZE];

// 求max{x,y,z,t} 
inline int mymax(int x,int y,int z,int t){
	return max(max(x,y),max(z,t));
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				for(int l=j+1;l<=m;l++){
					f[i][j][k][l]=mymax( f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] )+a[i][j]+a[k][l];
				}
			}
		}
	}
	cout << f[n][m-1][n-1][m] << endl;
	return 0;
}