我们从初中就开始学习指数和对数，但即使是程序员平时也很少用到这些方法。本篇就来看看如何使用它们解决具体问题。
指数
在多分类问题中，一般在最后一步使用Softmax，将数值转换成属于各个类别的概率，比如根据输入物品图片，通过一系列处理，判别它是衣服、鞋子、帽子各类别的概率。具体公式如下：
其中i为某一类别，j用于遍历所有可能的类别，Si计算的是某一类别的概率，即某一类别在所有类别中的占比。其中用到了自然指数e。e的图型如下：
首先，e指数是单调上升的，也就是说x越大y越大，变换之后的大小关系不会改变；且当x为负数时，y也是正数，这点非常重要。仍以物品分类为例，假设深度网络输出的最后一层是[1,-1,2]，其中包含负数，而概率在[0,1]之间，又不可能是负数。通过Softmax公式计算出每一分类的概率为：[0.25949646 0.03511903 0.70538451]，完美地解决了这一问题。
对数
条件概率常被用于序列预测问题，比如使用模型写作时，使用前N个字预测第N+1字，实际也是概率问题，比如给出前两个字“白日”预测第三个字，第三个字备选项是包含10000个字的字库，计算其中每一字的概率。假设其中“依”字概率最大为0.3，再使用“日依”预测下一个字，其中概率最大的是“山”概率为0.15，以此类推，预测最后一个字为“尽”的概率为0.2。
能预测出“白日依山尽”的概率，即给定条件“白日”，“依山尽”三个字同时出现的概率为0.30.150.2=0.009。如果预测一个很长的序列，小数连乘的结果很可能趋近于0，这里常使用对数方法。自然对数做图如下：
由于负数没有对数，图像中只有x>0的部分。自然对数也是单调上升的；使用log后连乘变为连加，上例变成：
log(0.30.150.2)=log(0.3)+log(0.15)+log(0.2)=-4.71
如果使用log计算概率，概率取值在[0,1]之间，那么只需要关注图中红色线条部分。对概率x取对数，y最大值为0，最小值为负无穷，在前面加一个负号，将值转换到0到正无穷，并将其作为误差函数Loss=-log(p)，当p值较小时（可能性小）Loss为一个较大的误差；当p值接近1时误差Loss趋近于0，这就是用负对数似然计算误差。
cosine距离
cosine距离常用于计算两个向量的距离，如用于图片搜索，对比文字描述的相似度，计算距离等等。设想二维情况下，两个向量的夹角，如下图所示：
当夹角θ接近0时，cos(θ)=1，向量距离很近，当夹角接近90度时，两向量正交二者无关cos(θ)=0；当夹角为180度时，方向相反cos(θ)=-1。
cosine距离公式如下：
其中u和v都是n维向量，分子为点积操作，分母可看作对各个维度的归一化。从直觉上看，它们每一维度上的值越接近，整体距离越近。因此也说：向量之间夹角的余弦也是单位向量均之间的点积。程序中很多向量相似度都通过点积计算，速度也非常快。
在选择距离计算方法时，cosine距离可看作是计算向量间的相似程度，而欧式距离计算的是两向量间的差异程度。
