一、复杂度分析

复杂度是衡量代码运行效率的重要的度量因素。主要包括：时间复杂度，空间复杂度。

一、时间复杂度

1.1、大Q复杂度表示法：

Tn = Q(f(n))
Tn：代码执行的时间
n：数据规模的大小
f(n)：每行代码执行的次数总和
Q：代码的执行时间 Tn 与 f(n) 表达式成正比

• 这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度 。
• 当n很大时，你可以把它想象成10000、 100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为： T(n) = O(n)； T(n) = O(n²)

1.2、分析方法

1、只关注循环执行次数最多的一段代码

大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以， 我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
例：

int cal(int n) {
	int sum = 0;
	int i = 1;
	for (; i <= n; ++i) {
		sum = sum + i;
	}
	return sum;
}

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

下面这段代码：

int cal(int n) {
	int sum_1 = 0;
	int p = 1;
	for (; p < 100; ++p) {
		sum_1 = sum_1 + p;
	}
	int sum_2 = 0;
	int q = 1;
	for (; q < n; ++q) {
		sum_2 = sum_2 + q;
	}
	int sum_3 = 0;
	int i = 1;
	int j = 1;
	for (; i <= n; ++i) {
		j = 1;
		for (; j <= n; ++j) {
			sum_3 = sum_3 + i * j;
		}
	}
	return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}

• 这个代码分为三部分，分别是求sum_1、 sum_2、 sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
• 第一段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关。即便这段代码循环10000次、 100000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
• 第二段代码和第三段代码的时间复杂度是 O(n) 和 O(n²)。
• 综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n²)。
• 也就是说： 总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
• 如果 T1(n) = O(f(n))， T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n)))。

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果 T1(n) = O(f(n))， T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。
也就是说，假设T1(n) = O(n)， T2(n) = O(n²)，则 T1(n) * T2(n) = O(n³)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，举个例子：

int cal(int n) {
	int ret = 0;
	int i = 1;
	for (; i < n; ++i) {
		ret = ret + f(i);
	}
}
int f(int n) {
	int sum = 0;
	int i = 1;
	for (; i < n; ++i) {
		sum = sum + i;
	}
	return sum;
}

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～ 6 行的时间复杂度就是， T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是， T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

1.3、几种常见时间复杂度实例分析

• 对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类：
  • 多项式量级。O(1),O(log(n)),O(n^k)等，因为它的规模n出现在底数的位置。
  • 非多项式量级。非多项式量级只有两个： O(2^n) 和 O(n!)。当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

1、Q(1)

O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说， 一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2、Q(logn)、Q(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子来说明一下。

i=1; 
while (i <= n) { 
    i = i * 2; 
}

• 根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
• 从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。
• 这是一个等比数列。把它一个一个列出来，就应该是这个样子的： 2^0, 2^1, 2^2,... 2^x = n
• 所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x = n 求解 x 。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。
  在看一个例子：

i=1; 
while (i <= n) { 
    i = i * 3; 
}

• 根据上面的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
• 实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
• 因为对数之间是可以互相转换的， log3n 就等于log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C = log32 是一个常量。
• 基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。
• 因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
• 基于上面的关系，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是 O(nlogn)了。
• O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3、Q(m+n)、Q(m * n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m, int n) { 
    int sum_1 = 0; 
    int i = 1; 
    for (; i < m; ++i) { 
        sum_1 = sum_1 + i; 
    } int sum_2 = 0; 
    int j = 1; 
    for (; j < n; ++j) { 
        sum_2 = sum_2 + j; 
    } 
    return sum_1 + sum_2; 
} 

• 从代码中可以看出， m 和n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大。
• 所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一 个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
• 针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为： T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。
• 但是乘法法则继续有效： T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))

二、空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity）， 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
举个例子：

void print(int n) {
    int i = 0;
    int[] a = new int[n];
    for (i; i <n; ++i) {
        a[i] = i * i;
    }
    for (i = n-1; i >= 0; --i) {
        print out a[i]
    }
}

• 跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。
• 第3行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
• 我们常见的空间复杂度就是 O(1)、 O(n)、 O(n² )，像 O(logn)、 O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。
• 空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

三、最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

3.1、最好、最坏情况时间复杂度

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
    int i = 0;
    int pos = -1;
    for (; i < n; ++i) {
        if (array[i] == x) 
            pos = i;
    }
    return pos;
}

• 你应该可以看出来，这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回-1。
• 按照上面讲的分析方法，这段代码的复杂度是 O(n)，其中， n 代表数组的长度。
• 我们在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
	int i = 0;
	int pos = -1;
	for (; i < n; ++i) {
		if (array[i] == x) {
			pos = i;
			break;
		}
	}
	return pos;
}

• 我们优化完之后，这段代码的时间复杂度就不一定是 O(n) 了。
• 因为，要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
• 为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。
• 顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。这个例子中在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
• 同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子，如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

3.2、平均情况时间复杂度

• 我们都知道，最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。

• 为了更好地表示平均情况下的复杂度，需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，简称为平均时间复杂度。

• 要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～ n-1 位置中和不在数组中。

• 我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

• 

• 我们知道，时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

• 这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢？我们刚讲的这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。

• 我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为1/2。

• 另外，要查找的数据出现在 0～ n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。

• 所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～ n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

• 因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：

• 

• 这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

• 引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

• 实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。

• 只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。