【BZOJ4458】GTY的OJ

题面

Description

身为IOI金牌的gtyzs有自己的一个OJ，名曰GOJ。GOJ上的题目可谓是高质量而又经典，他在他的OJ里面定义了一个树形的分类目录，且两个相同级别的目录是不会重叠的。比如图论的大目录下可能分为最短路，最小生成树，网络流等低一级的分类目录，这些目录下可能还有更低一级的目录，以此类推。现在gtyzs接到了一个任务，要他为SDTSC出题。他准备在自己的OJ题库中找出M道题作为SDTSC的试题，而他深知SDTSC的童鞋们个个都是神犇，所以gtyzs认为自己出的这M道题中，每道题都应该属于不少于L种分类目录；可他又怕自己的题没有人会做，所以每道题也应该属于不超过R种分类目录，并且这些分类目录应该是连续的，不能出现断层。对了，最重要的是，不存在一道题，它属于两个分类目录且这两个目录不是包含关系。（比如不存在一道题它既是一道DP题，又是一道网络流题）gtyzs怕被骂，所以他希望不存在任意的一对题目(u,v)，使得u所属的分类目录与v完全相同。举例来说，gtyzs不能出两道同样的都是动态规划，背包的题，但是却可以出一道属于动态规划，背包和01背包的题和一道属于背包，01背包的题，当然也可以出一个属于图论的题和一个属于数论的题。（注意：一道题所属的分类目录不一定从根开始，如加粗部分所示）
为了让自己的题目变得更加靠谱，他给每一个分类目录都定了一个靠谱值ai，这个值可正可负。一道题的靠谱度为其从属的分类目录靠谱值的加和。我们假设动态规划的靠谱值为10，插头DP的靠谱值为－5，则一道动态规划插头DP的题的靠谱值就是5。gtyzs希望自己出的这M道题，在满足上述前提条件下，靠谱度总和最大。gtyzs当然会做啦，于是你就看到了这个题。

Input

输入的第一行是一个正整数N，代表分类目录的总数。
接下来的一行，共N个正整数，第i个正整数为fi，表示分类目录i被fi所包含。保证一个分类目录只会被一个分类目录所包含，且包含关系不存在环。特别的，fi＝0表示它是根节点，我们保证这样的点只存在一个。
接下来的一行，共N个整数，第i个数表示ai。
最后一行，三个正整数M,L,R。
对于100%的数据，1≤N≤500,000，1≤M≤500,000，|ai|≤2,000。保证输入数据有解。
为了方便，所有的测试数据中都有f1＝0，且对于任意的i∈[2,N]，有fi<i。

Output

一行一个整数，表示最大的靠谱度。

Sample Input

7

0 1 1 2 2 3 3

2 3 4 1 2 3 4

3 3 3

Sample Output

26

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简化版本

这题的简化版本：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2006

我们可以从最大的开始枚举\(k\)个可行区间。

我们用五个信息来维护区间\((x,l,r,q,v)\)，\(x\)表示区间右端点，\(l\)表示区间最左边可以到的位置，\(r\)表示区间最右边可以到的位置，\(q\)表示最大区间和在的左边界坐标，\(v\)表示这个可行范围内的最大区间和。

我们先枚举所有的右边界，直接扔到优先队列里维护\(v\)即可。

对于当前取出的区间，我们可以把它分裂成两个区间\((x,l,q-1,q_1,v_1)\)，\((x,q+1,r,q_2,v_2)\)，即区间位置\(q\)以后的区间，\(q_1,1_2,v_1,v_2\)需要重新计算。

int n,m,L,R,a[500010],f[500010][35],ans[500010];
struct data
{
    int x,l,r,p,v;
    data(int a=0,int b=0,int c=0,int d=0,int e=0):x(a),l(b),r(c),p(d),v(e){};
};
struct cmp
{
    bool operator()(data x,data y)
    {
        return x.v<y.v;
    }
};
priority_queue<data,vector<data>,cmp> q;

void init()
{
    for (int i=0;i<=n;i++)
        f[i][0]=a[i];
    for (int i=1;(1<<i)<=n+1;i++)
        for (int j=0;j+(1<<i)-1<=n+1;j++)
            f[j][i]=min(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}

int query(int l,int r)
{
    int k=(int)(log(double(r-l+1))/log((double)2));
    return min(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}

int calc(int l,int r)
{
    int mid,res,x=query(l,r);
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if (query(mid,r)<=x) res=mid,l=mid+1;else r=mid-1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&L,&R);
    a[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]),a[i]+=a[i-1];
    init();
    for (int i=L;i<=n;i++)
    {
        int l=max(i-R,0),r=i-L;
        q.push(data(i,l,r,calc(l,r),a[i]-query(l,r)));
        //printf("%d %d %d %d %d\n",i,l,r,calc(l,r),a[i]-query(l,r));
    }
    LL ans=0;
    //cout<<q.size<<endl;
    while(m--)
    {
        if (q.empty()) break;
        int x=q.top().x,l=q.top().l,r=q.top().r,p=q.top().p;
        //cout<<q.top().v<<endl;
        ans+=(LL)q.top().v;
        q.pop();
        if (p-1>=l) q.push(data(x,l,p-1,calc(l,p-1),a[x]-query(l,p-1)));
                    //printf("%d %d %d %d %d\n",x,l,p-1,calc(l,p-1),a[x]-query(l,p-1));
        if (r>=p+1) q.push(data(x,p+1,r,calc(p+1,r),a[x]-query(p+1,r)));
                    //printf("%d %d %d %d %d\n",x,p+1,r,calc(p+1,r),a[x]-query(p+1,r));
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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分析

作为上边的加强版，我们只要从叶子结点开始统计\(min\)信息和\(fa\)信息，然后把所有结点作为最底层结点，向上维护，类似于链的形式，维护一个五元的组合。

noi的钢琴那题，贪图方便，上面那份代码时间复杂度是\(O(n\times log^2_2m)\)，然后这题就被卡了。

在维护st表的时候，新开一个数组\(ANS\)表示当前位置向上对应的长度，然后不再用二分去探查位置，直接可以得到。

#include<cstdio>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdlib>  
#include<cstring>
#include<string>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<ctime>
#define LL long long
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;

inline char nc(){
    /* 
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin); if (p1==p2) return EOF; }
  return *p1++;
    */return getchar();
}
  
inline void read(int &x){
  char c=nc();int b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
  
inline void read(LL &x){
  char c=nc();LL b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
 
inline void read(char &x){
  for (x=nc();!(x=='('||x==')');x=nc());
}

inline int read(char *s)
{
    char c=nc();int len=1;
    for(;!(c=='('||c==')');c=nc()) if (c==EOF) return 0;
    for(;(c=='('||c==')');s[len++]=c,c=nc());
    s[len++]='\0';
    return len-2;
}
int wt,ss[19];
inline void print(int x){
    if (x<0) x=-x,putchar('-'); 
    if (!x) putchar(48); else {
    for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);
    for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}
inline void print(LL x){
    if (x<0) x=-x,putchar('-');
    if (!x) putchar(48); else {for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}

int n,m,L,R,S,a[500010],c[500010],h[500010],to[1000010],ne[1000010],d[500010];
int p[1000010][40],f[1000010][40],ANS[1000010][40];
struct data
{
    int x,l,r,p,v;
    data(int a=0,int b=0,int c=0,int d=0,int e=0):x(a),l(b),r(c),p(d),v(e){};
};
struct cmp
{
    bool operator()(data x,data y)
    {
        return x.v<y.v;
    }
};
priority_queue<data,vector<data>,cmp> q;

void dfs(int u)
{
    c[u]=1;
    for (int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        if (!d[to[i]])
        {
            d[to[i]]=d[u]+1;
            p[to[i]][0]=u;
            a[to[i]]+=a[u];
            dfs(to[i]);
            //a[u]+=a[to[i]];
            c[u]+=c[to[i]];
        }
    }
}

void init()
{
    for (int i=0;i<=n;i++)
        f[i][0]=a[i],ANS[i][0]=0;
    p[1][0]=0;
    for (int j=1;(1<<j)<=n+1;j++)
        for (int i=0;i<=n;i++)
        if (p[i][j-1]!=-1)
            {
                p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
                if (f[i][j-1]<=f[p[i][j-1]][j-1]) ANS[i][j]=ANS[i][j-1];
                else ANS[i][j]=ANS[p[i][j-1]][j-1]+((1<<(j-1)));
                f[i][j]=min(f[i][j-1],f[p[i][j-1]][j-1]);

                //cout<<i<<" "<<j<<" "<<ANS[i][j]<<" "<<f[i][j]<<endl;
            }
}

void Add(int x,int y)
{
    S++;to[S]=x;ne[S]=h[y];h[y]=S;
    S++;to[S]=y;ne[S]=h[x];h[x]=S;
}

int Find(int x,int y)
{
    y=d[x]-y;
    int i;
    for (i=0;(1<<i)<=d[x];i++);i--;
    for (int j=i;j>=0;j--)
        if (d[x]-(1<<j)>=y) x=p[x][j];
    return x;
}

int query(int x,int l,int r)
{
    int k=(int)(log(double(r-l+1))/log((double)2));
    return min(f[Find(x,l)][k],f[Find(x,r-(1<<k)+1)][k]);
}

int calc(int x,int l,int r)
{
    int k=(int)(log(double(r-l+1))/log((double)2));
    int y=Find(x,l),z=Find(x,r-(1<<k)+1);
    //printf("%d %d %d %d\n",y,k,z,k);
    if (f[y][k]<=f[z][k]) return ANS[y][k]+l;else return ANS[z][k]+(r-(1<<k)+1);
}

int main()
{
    freopen("3","r",stdin);
    read(n);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(p,-1,sizeof(p));
    S=0;
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        read(x);
        if (x>0) Add(x,i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        read(a[i]);
    d[1]=1;dfs(1);
    init();
    read(m);read(L);read(R);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (d[i]>=L)
        {
            int l=L,r=min(R,d[i]);
            q.push(data(i,l,r,calc(i,l,r),a[i]-query(i,l,r)));
            //printf("%d %d %d %d %d\n",i,l,r,calc(i,l,r),a[i]-query(i,l,r));
        }
    //return 0;
    LL ans=0;
    while(m--)
    {
        if (q.empty()) break;
        data z=q.top();
        int x=z.x,l=z.l,r=z.r,p=z.p;
        //cout<<q.top().v<<endl;
        ans+=(LL)z.v;
        //cout<<l<<" "<<p<<endl;
        q.pop();
        if (p-1>=l) q.push(data(x,l,p-1,calc(x,l,p-1),a[x]-query(x,l,p-1)));
                    //printf("%d %d %d %d %d\n",x,l,p-1,calc(x,l,p-1),a[x]-query(x,l,p-1));
        if (r>=p+1) q.push(data(x,p+1,r,calc(x,p+1,r),a[x]-query(x,p+1,r)));
                    //printf("%d %d %d %d %d\n",x,p+1,r,calc(x,p+1,r),a[x]-query(x,p+1,r));
    }
    print(ans),puts("");
    return 0;
}