动态规划总结
背包问题一直是动态规划的热点,也是各大公司笔试的常客,所以掌握基本的背包解题思路是很重要的
0-1 背包问题
题目
有 N
件物品和一个容量为 V
的背包。第i件物品的费用是 c[i]
,价值是 w[i]
。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
解题思路:
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即 f[i][v]
表示考虑将 i
件物品恰放入一个容量为 v
的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v] = max(f[i - 1][v],
f[i - 1][v - c[i]] + w[i])
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
“将前 i
件物品放入容量为 v
的背包中”这个子问题,若只考虑第 i
件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1
件物品的问题。
f[i - 1][v]
如果不放第 i
件物品,那么问题就转化为“前 i-1
件物品放入容量为 v
的背包中”,价值为 f[i-1][v]
f[i - 1][v - c[i]] + w[i]
如果放第 i
件物品,那么问题就转化为“前 i-1
件物品放入剩下的容量为 v-c[i]
的背包中”,此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]]
再加上通过放入第i件物品获得的价值 w[i]
。
代码实现
public class Solution {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {6, 29, 39};
int[] v = {6, 10, 12};
int W = 6;
//6
System.out.println(new Solution().knapsack01(w, v, W));
}
public int knapsack01(int[] w, int[] v, int W) {
int len = w.length;
//dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值
//状态转移方程为:f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]}
int[][] dp = new int[len + 1][W + 1];
//初始化:重量为0或者背包容量为0时最大价值为0,数组本来就是初始化值为0,跳过
for (int i = 1; i <= len; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
//f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]}
//当前最大价值等于放上一件的最大价值
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
//如果当前物品(i-1)能放入背包
if (j >= w[i - 1]) {
//就考虑放入还是不放入↓
//这里需要注意,i - 1表示的是当前件,因为这里的i从1开始
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], v[i - 1] + dp[i - 1][j - w[i - 1]]);
}
}
}
return dp[len][W];
}
}
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN)
,其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O。(如果需要)
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环 i=1..N
,每次算出来二维数组 f[i][0..V]
的所有值。那么,如果只用一个数组 f[0..V]
,能不能保证第i次循环结束后 f[v]
中表示的就是我们定义的状态 f[i][v]
呢?f[i][v]
是由 f[i-1][v]
和 f[i-1][v-c[i]]
两个子问题递推而来,能否保证在推 f[i][v]
时(也即在第 i
次主循环中推 f[v]
时)能够得到 f[i-1][v]
和 f[i-1][v-c[i]]
的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以 v=V..0
的顺序推 f[v]
,这样才能保证推 f[v]
时 f[v-c[i]]
保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]
的值。伪代码如下:
for i = [1..N)
for v = [V..0]
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的 f[v] = max{f[v]
, f[v-c[i]]}
一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}
,因为现在的 f[v-c[i]]
就相当于原来的 f[i-1][v-c[i]]
。如果将 v
的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了 f[i][v]
由 f[i][v-c[i]]
推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解 01
背包问题是十分必要的。
第一种优化方案 O(n*C) O(2*C)
因为 dp[i][C]
的值只与 dp[i - 1][C]
有关,所以定义一个 dp[2][C]
来循环保存结果
不断进行覆盖
public int knapsack01_ex(int[] w, int[] v, int W) {
int len = w.length;
//
int[][] dp = new int[2][W + 1];
for (int i = 1; i <= len; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
//f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]}
//当前最大价值等于放上一件的最大价值
dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][j];
//如果当前件(i-1)的重量小于等于总重量,可以放进去或者拿出别的东西再放进去
if (j >= w[i - 1]) {
dp[i % 2][j] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][j], v[i - 1] + dp[(i - 1) % 2][j - w[i - 1]]);
}
}
}
return dp[len % 2][W];
}
一维数组 O(n*C) O(C)
public int knapsack01(int[] w, int[] v, int W) {
int len = w.length;
int[] dp = new int[W + 1];
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = W; j >= 0; j--) {
if (j >= w[i]) {
dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]);
} else {
dp[j] = dp[j];
}
}
}
return dp[W];
}
事实上,使用一维数组解 01 背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件 01 背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程 ZeroOnePack,表示处理一件 01 背包中的物品,两个参数 cost
、weight
分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
for i = 1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题——“恰好装满背包?”
求最优解的背包问题中,有两种不太相同的问法:
- 有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解
- 有的题目则没有要求必须把背包装满
区别仅在初始化的时候有所不同:
-
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了
f[0]
为0
其它f[1..V]
均设为-∞
,这样就可以保证最终得到的f[N]
是一种恰好装满背包的最优解。 -
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?
- 初始化的
f
数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0
的背包可能被价值为0
的nothing
“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞
了。 - 如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1
,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后 f[v]
的值,倒推前一个物品,其实只要知道 f[v-w[n]]
即可。以此类推,对以第 j
个背包,其实只需要知道到 f[v-sum{w[j..n]}]
即可,即代码中的
for i=1..N
for v=V..0
可以改成
for i=1..n
bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
for v=V..bound
这对于 V
比较大时是有用的。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。