【BZOJ3992】【SDOI2015】序列统计 EGF+多项式快速幂+循环卷积

如果是求$n$个数之和在模$m$意义下为$x$，那么做法是显然的。

但是这道题问的是$n$个数之积在模m意义下为$x$，那么做法就和上面的问题不同。

考虑如何把乘法转换成加法（求log）：

题目中有一个很特殊的条件：$m$是个质数。

不妨假设$m$的原根为$g$。那么显然，我们可以用$g^x%m$构造出$[0,m)$中的所有数。

那么对于两个数$A$和$B$，我们将它变形为$g^{x_1}$和$g^{x_2}$，那么$A \times B=g^{x_1+x_2}$。

我们构造一个m-1次多项式A，对于A的第i项，A_i=$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1 \ [x^i \equiv k(mod\ m),\ k∈S].\\0 \end{array} \right. \end{equation}$。

然后，不妨设读入的$X=g^k$，则答案即为$[x^k]A^n(x)$，注意这里的卷积是循环卷积。

然后就没了，注意S中出现0的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 32768
#define MOD 1004535809
#define G 3
#define L long long
using namespace std; 

L pow_mod(L x,L k){
    L ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD; k>>=1;
    }
    return ans;
}

void change(L a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void NTT(L a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            L w=1;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                L u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w%MOD;
                a[k]=(u+t)%MOD;
                a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD;
                w=w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        L inv=pow_mod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
        reverse(a+1,a+n);
    }
}
L a[M]={0},b[M]={0},ans[M]={0};
int gn[M]={0},g=0,vis[M]={0};

void get(int n){
    for(int i=2;i<n;i++){
        memset(vis,0,n<<2);
        vis[0]=1; gn[1]=0;
        int hh=1,ok=1;
        for(int j=1;j<n-1;j++){
            hh=hh*i%n;
            if(vis[hh]){ok=0; break;}
            vis[hh]=1; gn[hh]=j;
        }
        if(ok){g=i; return;}
    }
}

int main(){
    int n,m,x,s,nn=1;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);
    while(nn<(m*2)) nn<<=1;
    get(m);
    for(int i=0;i<s;i++){
        int x; scanf("%d",&x);
        if(x==0) continue;
        x=gn[x];
        a[x]++;
    }
    ans[0]=1; m--;
    while(n){
        if(n&1){
            NTT(a,nn,1); NTT(ans,nn,1);
            for(int i=0;i<nn;i++) ans[i]=ans[i]*a[i]%MOD;
            NTT(a,nn,-1); NTT(ans,nn,-1);
            for(int i=0;i<m;i++) ans[i]=(ans[i]+ans[i+m])%MOD;
            for(int i=m;i<nn;i++) ans[i]=0;
        }
        NTT(a,nn,1);
        for(int i=0;i<nn;i++) a[i]=a[i]*a[i]%MOD;
        NTT(a,nn,-1);
        for(int i=0;i<m;i++) a[i]=(a[i]+a[m+i])%MOD;
        for(int i=m;i<nn;i++) a[i]=0;
        n>>=1;
    }
    printf("%lld\n",ans[gn[x]]);
}