【 2019北京集训测试赛（十）】 子矩阵 二分

题目大意：给你一个$n\times n$的矩阵，请在这个矩阵中找出一个子矩阵$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，使得$\dfrac{\sum\limits_{i=x_1}^{x_2} \sum\limits_{j=y_1}^{y_2}a[i][j] }{2\times(x_2-x_1+y_2-y_1)}$最大。

数据范围：$n≤500$，$|A|≤10^9$

 

我们考虑二分这个答案

设答案的分母为$S$，分子为$d$，当前二分到的数是$ans$。

如果最终的答案可以大于$ans$，则有$\frac{S}{d}>ans$

 

我们移项，则有$S>2ans(\Delta x+\Delta y)$

我们考虑枚举$\Delta x$，然后找出一个宽为$x$，满足上面约束的子矩阵。

令$F_x[i][j]=\sum\limits_{k=0}^{x-1} a[i+k][j]$

对于$i∈[1,n-x+1]$，若在$F_x[i]$中找到满足条件的矩阵，那么你会找到$j_1$和$j_2$，满足：

$ans\times x>\sum\limits_{j=j_1}^{j_2} (F_x[i][j]-ans)$

简单变式一下，则有：

$ans\times x>\sum\limits_{j=1}^{j_2}(F_x[i][j]-ans)-\sum\limits_{j=1}^{j_1-1}(F_x[i][j]-ans)$

我们可以通过维护$\sum\limits_{j=1}^{j_2}(F_x[i][j]-ans)$的最小值和最大值在$O(n^2)$的时间内，完成给定$\Delta x$和给定$ans$的判断。

加上二分$ans$的过程，我们可以在$O(n^2log(-\epsilon))$的时间复杂度内，求出给定$\Delta x$情况下的最大$ans$。

整个做法的复杂度也就是$O(n^3log(-\epsilon))$，显然过不去。

 

我们考虑到，一个长度为$n$的随机序列的最长上升子序列期望长度是$O(\log\  n)$的

我们考虑将需要判断的序列X随机打乱。

我们先将序列进行修改，然后基于之前求出的$ans$，求一遍答案，判断修改后的序列是否会更加优秀。

如果更加优秀，我们就重新二分出答案。

不难发现，重新二分答案的次数期望是$O(\log\ n)$的。

总的复杂度就是$O(n^3+n^2\log n\log(-\varepsilon))$的。

完结撒花

 

#include<bits/stdc++.h>
#define M 505
#define eps 1e-8
#define L long long
#define INF 3e14
#define _y1 orzmyh
using namespace std;

L a[M][M]={0};
int p[M]={0},n;

int _x1,_x2,_y1,_y2;
int _X1,_X2,_Y1,_Y2;
bool check(int x,double ans){
    for(int i=1;i<=n-x+1;i++){
        double minn=0,now=0; int minid=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            now+=a[i+x-1][j]-a[i-1][j]-ans;
            if(minn>now){
                minn=now;
                minid=j;
            }
            if(now-minn>=ans*x){
                _x1=i; _x2=i+x-1;
                _y1=minid+1; _y2=j;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
bool ok(double l,double r){
    return (r-l>eps)&&(((r-l)/l)>eps);
}

int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    double ans=0,maxn=-INF;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++){
        scanf("%lld",&a[i][j]);
        maxn=max(maxn,1.*a[i][j]);
    }
    if(maxn<=0){
        printf("%.10lf\n",maxn/4);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(a[i][j]==maxn){
            printf("%d %d\n",i,j);
            printf("%d %d\n",i,j);
            return 0;
        }
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]+=a[i-1][j];
    
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    random_shuffle(p+1,p+n+1);
    
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=p[i];
        if(!check(x,ans)) continue;
        double l=ans,r=INF;
        while(ok(l,r)){
            double mid=(l+r)/2.;
            if(check(x,mid)) l=mid;
            else r=mid;
        }
        ans=l;
        _X1=_x1; _X2=_x2;
        _Y1=_y1; _Y2=_y2;
    }
    printf("%.10lf\n",ans/2);
    printf("%d %d\n",_X1,_Y1);
    printf("%d %d\n",_X2,_Y2);
}