【NOIP2018】保卫王国 动态dp
此题场上打了一个正确的$44pts$，接着看错题疯狂$rush$“正确”的$44pts$，后来没$rush$完没将之前的代码$copy$回去，直接变零分了。。。。。
这一题我们显然有一种$O(nm)$的做法
令$f[u][0]$表示在以$u$为根的子树内部署军队，且$u$不部署军队的最小代价。
令$f[u][1]$表示在以$u$为根的子树内部署军队，且$u$部署军队的最小代价。
结合题意（重要！）不难推出：
$f[u][0]=\sum_{v∈son[u]} f[v][1]$
$f[u][1]=val_u+\sum_{v∈son[u]} min(f[v][0],f[v][1])}$
考虑满足能选/不能选的要求，我们只需要临时将被选择点的权值赋值为$INF$或$-INF$即可。
考虑这棵树是一条链的情况：我们用一棵线段树，每个节点维护一个答案矩阵（该区间左端点驻军/可能不驻军，该区间右端点驻军/可能不驻军时的最小代价）。我们求一个节点的答案矩阵，显然可以通过其儿子的答案矩阵，通过大力分类讨论（详见代码）实现更新。
当出现修改权值的情况时，大力改一改然后$pushup$即可。
我们考虑将这一个链上做法扩展到树上。我们用树链剖分将整棵树剖成若干条链，对于轻边上的一对节点$(u,son[u])$，我们将$son[u]$所在链的信息加入节点$u$所对应答案矩阵内即可（详见代码）。
一遍过样例开了$O2$就过了美滋滋
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define mid ((a[x].l+a[x].r)>>1)
3 #define L long long
4 #define INF (1LL<<50)
5 #define LOW (1LL<<40)
6 #define M 100005
7 using namespace std;
8
9 struct edge{int u,next;}e[M*2]={0}; int head[M]={0},use=0;
10 void add(int x,int y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
11
12 int siz[M]={0},dfn[M]={0},rec[M]={0},top[M]={0},dn[M]={0},son[M]={0},fa[M]={0},t=0;
13
14 void dfs(int x){
15 siz[x]=1;
16 for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa[x]){
17 fa[e[i].u]=x;
18 dfs(e[i].u);
19 siz[x]+=siz[e[i].u];
20 if(siz[son[x]]<siz[e[i].u]) son[x]=e[i].u;
21 }
22 }
23 void dfs(int x,int Top){
24 top[x]=Top; dfn[x]=++t; rec[t]=x;
25 if(son[x]) dfs(son[x],Top),dn[x]=dn[son[x]]; else dn[x]=x;
26 for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
27 if(e[i].u!=fa[x]&&e[i].u!=son[x]) dfs(e[i].u,e[i].u);
28 }
29
30 L f[M][2]={0},val[M]={0};
31 void dp(int x){
32 f[x][1]=val[x];
33 for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa[x]){
34 dp(e[i].u);
35 f[x][0]+=f[e[i].u][1];
36 f[x][1]+=min(f[e[i].u][0],f[e[i].u][1]);
37 }
38 }
39
40 struct mat{
41 L a[2][2]; mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
42 mat(L x){a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=x;}
43 mat(L a1,L a2,L a3,L a4){a[0][0]=a1; a[0][1]=a2; a[1][0]=a3; a[1][1]=a4;}
44 L ans(){ return min(min(a[0][0],a[0][1]),min(a[1][0],a[1][1]));}
45 void upd(L now){a[0][0]+=now; a[0][1]+=now; a[1][0]+=now;}
46 friend mat operator *(mat a,mat b){
47 mat c=INF;
48 for(int i=0;i<2;i++)
49 for(int j=0;j<2;j++){
50 for(int i1=0;i1<2;i1++)
51 for(int j1=0;j1<2;j1++)
52 if(!(i1==1&&j1==1))
53 c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][i1]+b.a[j1][j]);
54 }
55 return c;
56 }
57 }wei[M];
58 struct seg{int l,r; mat s;}a[M<<2];
59 void pushup(int x){a[x].s=a[x<<1].s*a[x<<1|1].s;}
60
61 void build(int x,int l,int r){
62 a[x].l=l; a[x].r=r;
63 if(l==r){
64 int u=rec[l]; L g0=0,g1=val[u];
65 for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
66 if(e[i].u!=fa[u]&&e[i].u!=son[u]){
67 g0+=f[e[i].u][1];
68 g1+=min(f[e[i].u][0],f[e[i].u][1]);
69 }
70 a[x].s=wei[l]=mat(g1,g1,g1,g0);
71 return;
72 }
73 build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r);
74 pushup(x);
75 }
76 mat query(int x,int l,int r){
77 if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return a[x].s;
78 if(r<=mid) return query(x<<1,l,r);
79 if(mid<l) return query(x<<1|1,l,r);
80 return query(x<<1,l,r)*query(x<<1|1,l,r);
81 }
82 mat query(int x){return query(1,dfn[top[x]],dfn[dn[x]]);}
83 L solve(){mat hh=query(1); return hh.ans();}
84
85 void updata(int x,int k){
86 if(a[x].l==a[x].r) return void(a[x].s=wei[k]);
87 if(k<=mid) updata(x<<1,k); else updata(x<<1|1,k);
88 pushup(x);
89 }
90 void Updata(int x,L Val){
91 L chg=Val-val[x]; val[x]+=chg;
92 wei[dfn[x]].upd(chg);
93 while(x){
94 mat last=query(x);
95 L lg1=last.ans(),lg0=min(last.a[0][0],last.a[0][1]);
96
97 updata(1,dfn[x]);
98
99 mat now=query(x);
100 L ng1=now.ans(),ng0=min(now.a[0][0],now.a[0][1]);
101
102 x=fa[top[x]]; if(!x) return;
103 wei[dfn[x]].upd(ng1-lg1);
104 wei[dfn[x]].a[1][1]+=ng0-lg0;
105 }
106 }
107
108
109 int n,m; char op[10];
110
111 int main(){
112 //freopen("defense.in","r",stdin);
113 //freopen("defense.out","w",stdout);
114 scanf("%d%d%s",&n,&m,op);
115 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",val+i);
116 for(int i=1,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
117 dfs(1);
118 dfs(1,1);
119 dp(1);
120 build(1,1,n);
121 //cout<<solve()<<endl;
122 while(m--){
123 int A,x,B,y; scanf("%d%d%d%d",&A,&x,&B,&y);
124 L lastA=val[A],lastB=val[B],chg=0;
125
126 if(x==0) Updata(A,INF);
127 else Updata(A,-INF);
128
129 if(y==0) Updata(B,INF);
130 else Updata(B,-INF);
131
132 L res=solve();
133 if(x) res+=INF+lastA;
134 if(y) res+=INF+lastB;
135
136 Updata(A,lastA);
137 Updata(B,lastB);
138
139 if(res>LOW){printf("-1\n"); continue;}
140 printf("%lld\n",res);
141 }
142 }
