(转)约瑟夫问题

大意就是给你n个人，编号为1-n。从第一个人开始报数，报到m时候，第m个人出列。然后下个人从1开始报数，逢m出列。问最后出列的人的编号。

刚开始用的是循环链表，纯模拟做法。发现当n很大时，铁定TLE。所以上网搜了下，发现有数学方法解决这个问题。

思路就是递推，发现子问题，然后由子问题的解推总问题的解。

公式就是：

f(1) = 0;

f(i) = (f(i - 1) + m) % i; (i > 1)

公式的含义我解释一下：

f(1)代表就一个人玩游戏，所以不需要踢人，第一个人就是获胜者，但为什么是0不是1本身呢？接着看。。。。。

f(i)代表剩i个人时要踢的人，f(i - 1)代表剩i - 1时踢掉的人，从这个人的下一个即（f(i - 1) + 1）开始，数m个人，但是从（f(i - 1) + 1）开始时，（f(i - 1) + 1）已经有一个人，所以下一次要踢掉的人就是（f(i - 1) + 1） + m - 1.。。这个应该可以理解。。。。那结果就是f(i - 1) + m。。因为可以把约瑟夫问题看成一个圈圈，所以取余是必要的，防止出界。加入n = 8， 那么要踢掉第10个人，其实就是踢掉 10 mod 8 = 2，第二个人。。。。

然后比较容易错的地方就是刚才那个问题，为什么f(1)不是1而是0呢？因为f(i)代表剩i个人时要踢的人，而1个人玩的时候就不需要踢人。同理，下面f(i)踢掉了一个人，这样，到最后，一共踢掉n-1个人，这个游戏就结束了，获胜者就是踢掉最后一个人之后剩下的那个。因为踢掉一个n就-1，所以最后剩2个人，踢掉一个之后需要+1 mod n（总人数）。这样，就可以求出获胜者。

结果就是：

1个人时候，结果为 f(1) + 1.

大于一个人的时候，结果为f(n) + 1;

至此，这个问题就解决了。。。。。。。。

代码如下：

view plain

1. #include<iostream>
2. #include<cstdio>
3. #include<cstring>
4. #include<iostream>
5. #include<cmath>
6. using namespace std;  
7. int main()  
8. {  
9. int ncase, n, m, ans;  
10.     scanf("%d", &ncase);  
11. while(ncase--)  
12.     {  
13.         scanf("%d%d", &n, &m);  
14.         ans = 0;  
15. for(int i = 2; i <= n; ++i)  
16.         {  
17.             ans = ( ans + m ) % i;  
18.         }  
19.         printf("%d\n", ans + 1); //易错点
20.     }  
21. return 0;  
22. }