096 Unique Binary Search Trees 不同的二叉查找树

给出 n，问由 1...n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？
例如，
给出 n = 3，则有 5 种不同形态的二叉查找树：
   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
详见：https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/

这道题实际上是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子。当n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，所以1乘1还是1。那么n = 2时，由于1和2都可以为根，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：

Java实现：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            for(int j=0;j<i;++j){
                dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

参考：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4299608.html