1243: CKJ老师爱数学

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题目描述

众所周知，CKJ老师非常热爱数学，他对于方程组的有自己的独到的研究，today，他抛给了你一个too simple的方程组x^2+y^2=z^2，z是一个已给的正整数，然后他毫不客气地问你，这个方程组的整数解有几个？

输入

包含一个整数T表示输入数据组数，

接下来T行每行一个整数z（z<=2000 000 000）

输出

每行一个整数表示方程组的解的个数

样例输入

1
4

样例输出

4
---------------------------------------------------------------------------------------------

自认为这是xdoj上思考最多的一道题： 网上好像有这样题的公式，但做题最要的不是理解学习心得知识吗。

首先我贴出一些知识点：

1） 定理 1   x2 + y2 = z2 的互質整數解為 x=2uv, y=u2-v2, $z = \pm(u^2 + v^2)$， 其中 u, v 是任意互質整數，且 u, v 不同時為奇數。

證明 1 令 x, y, z 是互質正整數，且 x2 + y2 = z2。若 x 與 y 都是奇數，則 z 是偶數。故 x2 + y2 是 4l+2 的型式，z2 是 4l' 的型式（l 與 l' 是整數）。矛盾。

因此，不妨假定 x 是偶數，y 與 z 是奇數。

由 x2 = z2 - y2 = (z+y) (z-y)，令 x=2r, z-y = 2s, z+y = 2t。得 r2 = st。

s 與 t 互質，因 y 與 z 互質。但 st 是完全平方。故 s=u2 , t=v2。得證。 

网址链接：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_07_4_01/page3.html

2）定理二：费马平方和定理    奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。

3）定理三：  (a^2+b^2)*(c^2+d^2)==(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

网址链接: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%AE%9A%E7%90%86

 

问题解决：

 1 借助定理1 将x^2+y^2=z^2  转化为 x^2+y^2=n 有多少整数解

 2 每个整数解我们可以看出是由本原解组成（三个数互质）【 3，4，5】是，而【6，8，10】不是

3 z=p1^k1*p2^k2*....pn^kn      

根据定理二  对于每个素数pk且满足pk%4==1   一个本原解  a^2+b^2==pk

对于每一个素数要么可以充当本原解的组成，要么组成解的因子  

所以对于每一个因子可以有（2*sum+1) 种选择

eg (z==25   sum=2  有五种选择

     1+4=5;  解得x=5^2*(2*u*v)=4*25=100; y=25*(u^2-v*2)=75;【一个5是因子，一个5组成本原解】

 

 

     3^2+4^2=25  解得y=2uv=24; x=u*2-v*2=7;                         【两个5都是本原解】

 

    两个解调换位置 4个解

   25全部作为因子  1个解

      ）

4  根据定理三  两个本原解可以合并乘一个本原解  所以不同因子之间是相乘关系

   一共有   ans=∏ (2*pk+1)-1  本原解  【 减一是排除所有素数作为因子】

  考虑正负号   ans*=4

  再加上四个点  sum=ans+4;         【端点我们不认为是本原解】

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const LL N=1e6+7;
 7 LL p[N+1];
 8 int main ()
 9 {
10     for (LL i=2;i<=N;i++) {
11         if (!p[i]) p[++p[0]]=i;
12         for (LL j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++) {
13             p[i*p[j]]=1;
14             if (i%p[j]==0)  break;
15         }
16     }
17     int T;
18     scanf ("%d",&T);
19     while (T--) {
20         LL x;
21         scanf("%lld",&x);
22         LL i=1;
23         LL ans=1;
24         while (p[i]*p[i]<=x) {
25             LL sum=0;
26             if (x%p[i]==0) {
27                 while (x%p[i]==0) {
28                     sum++;
29                     x=x/p[i];
30                 }
31                 if (p[i]%4==1)
32                     ans=ans*(2*sum+1);
33             }
34             i++;
35         }
36         if(x!=1&&(x%4==1)) ans=ans*3;
37         printf("%lld\n",(ans-1)*4+4);
38     }
39     return 0;
40 }

 

这完全是我自己的理解，可能存在说的不清晰地方或者不严谨，请

多多指教；