1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

  • cnblogs
  • belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2的m次方个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2的m次)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划
假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现

 1 public static int lcs(String str1, String str2) {
 2     int len1 = str1.length();
 3     int len2 = str2.length();
 4     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
 5     for (int i = 0; i <= len1; i++) {
 6         for( int j = 0; j <= len2; j++) {
 7             if(i == 0 || j == 0) {
 8                 c[i][j] = 0;
 9             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
10                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
11             } else {
12                 c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
13             }
14         }
15     }
16     return c[len1][len2];
17 }

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：


最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现

 1 public static int lcs(String str1, String str2) {
 2     int len1 = str1.length();
 3     int len2 = str2.length();
 4     int result = 0;     //记录最长公共子串长度
 5     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
 6     for (int i = 0; i <= len1; i++) {
 7         for( int j = 0; j <= len2; j++) {
 8             if(i == 0 || j == 0) {
 9                 c[i][j] = 0;
10             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
11                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
12                 result = max(c[i][j], result);
13             } else {
14                 c[i][j] = 0;
15             }
16         }
17     }
18     return result;
19 }

 例题

pat-C4 L2-008  最长对称的回文串

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=1e3+10;
 4 char s1[N],s2[N];
 5 int dp[N][N];
 6 int main ()
 7 {
 8     gets (s1+1);  strcpy(s2+1,s1+1);
 9     int len=strlen(s1+1);
10     reverse(s2+1, s2+1+len);
11     int ans=0;
12     for (int i=0;i<=len;i++)
13         for (int j=0;j<=len;j++) {
14             if (i==0||j==0) dp[i][j]=0;
15             else if (s1[i]==s2[j])  {
16                 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
17                 ans=max (ans,dp[i][j]);
18             }
19             else dp[i][j]=0;
20         }
21     printf ("%d\n",ans);
22     return 0; 
23 }