1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define inf 0x3f3f3f3f;
 6 using namespace std;
 7 int dp[100007];
 8 int val[107];
 9 int cnt[107];
10 int n,m;
11 void comdp (int w,int v,int m) {
12     for (int i=w;i<=m;i++)
13         dp[i]=max (dp[i],dp[i-w]+v);
14 }
15 void zerodp (int w,int v,int m) {
16     for (int i=m;i-w>=0;i--) {
17         dp[i]=max (dp[i],dp[i-w]+v);
18     }
19 }
20 int main ()
21 {
22     while (~scanf ("%d %d",&n,&m)&&(n||m)) {
23         for (int i=1;i<=m;i++) dp[i]=-inf; dp[0]=0;
24         for (int i=1;i<=n;i++)
25             scanf ("%d",&val[i]);
26         for (int i=1;i<=n;i++)
27             scanf ("%d",&cnt[i]);
28         for (int i=1;i<=n;i++) {
29             if (val[i]*cnt[i]>=m)
30                 comdp(val[i],val[i],m); // 体积  价值  最大体积   多重背包
31             else {
32                     int num=cnt[i];
33                     for (int k=1;k<=num;k*=2 ) {
34                             zerodp(k*val[i],k*val[i],m); // 0-1背包
35                             num-=k;
36                     }
37                     if (num)   zerodp(num*val[i],num*val[i],m);
38             }
39         }
40         int ans=0;
41         for (int i=1;i<=m;i++) {
42             if (dp[i]>0) ans++;
43         }
44         printf ("%d\n",ans);
45     }
46     return 0;
47 }

二进制优化的证明

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

 

证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）