B-tree（B树）

参考博客

一、简介

B-tree即B树，B即Balanced（平衡）的意思。B树是为了实现高效的磁盘存取而设计的多叉平衡搜索树，多用于数据库中。B树的启发来源于二叉查找树，二叉查找树的特点是每个非叶子节点都只有两个孩子节点。这种结构会造成当数据量非常大时，二叉查找树的高度非常大，搜索算法从根节点向下搜索时，需要访问的节点数会变多，如果这些节点信息存储在外存储器（磁盘）中，每访问一个节点，就相当于进行了一次I/O操作，而频繁的I/O操作会降低查询的效率。

注：从外部存储器读取信息，大致有两步：

1. 找到存储这个数据（节点）对应的磁盘页面，需要依靠磁臂转动，找到对应的磁道。这是一个机械化的过程，所以耗时长。
2. 把数据读进内存，并实施运算，这个过程较快。

所以要想提高效率，就要减少磁盘I/O的次数，所以我们要在磁盘页面上多存储一些信息，所以B树就是扩展每个节点的信息，降低树的高度。

 

B树的说明：

• B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4。
• 在B树上，关键字集合分布在整棵树中，即叶子节点和非叶子节点都存放数据。搜索有可能在非叶子节点结束。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图、4阶B树

一棵m阶B树满足下列条件：

1. 每个节点至多有m棵子树；
2. 除根节点外，其他分支节点至少有$ceil（m/2）$棵子树；根节点至少有两棵子树（除非B树只包含一个节点）
3. 有$j$个孩子节点的非叶节点有$j-1$个关键字，关键字按非降序排列；
4. 所有叶子节点具有相同的深度，这也说明B树是平衡的，B-tree的名字也是这样来的

在搜索B树时，很明显，访问节点（即读取磁盘）的次数与树的高度呈正比，而B树与二叉查找树相比，虽然高度都是对数级的，但是显然B树中底数比2大。因此，和二叉树相比，极大地减少了磁盘读取的次数。

 

二、搜索算法

搜索关键字的29的文件的过程如下：

1. 从根节点开始，读取根节点信息，根节点有2个关键字：17和35。因为17 < 29 < 35，所以找到指针P2指向的子树，也就是磁盘块3（第1次I/0操作）

2. 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：26和30。26 < 29 < 30，找到指针P2指向的子树，也就是磁盘块8（第2次I/0操作）

3. 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：28和29。找到了！（第3次I/0操作）

同样的操作，如果使用平衡二叉搜索树，那么需要至少4次I/O操作。这种优势会随着节点数的增加而更加明显。另外，因为B树节点中的关键字都是排序好的，在节点中的信息被读入内存之后，可以采用二分查找，更进一步减少了读入内存之后的计算时间。由此说明对于外存数据结构来说，I/O次数是其查找信息中最大的时间消耗，而我们要做的所有努力就是尽量在搜索过程中减少I/O操作的次数。

 

三、B+树

B+树的说明：

• B+树的搜索算法和B树的区别在于B+树只有在到达叶子节点才命中（B树可以在非叶子节点命中）；
• B+树所有的关键字都出现在叶子节点的链表中（数据只能在叶子节点），并且链表中的关键字 （数据）恰好是有序的；
• B+树的非叶子节点相当于是叶子节点的索引，它更适合文件索引系统。

 

问题：为什么B+树比B树更适合文件索引系统和数据库系统？

• B+树的内部节点（非叶子节点）不保存具体的数据，相比于B树的内部节点更小。故相同容量的磁盘能容纳的内部节点数目更多，磁盘I/O的读写次数也会降低；
• B+树查询必须查找到叶子节点，B树只要匹配到即可而不用管元素位置（B树最好情况下查找到根节点，最坏情况下查找到叶子结点，所说性能很不稳定），因此B+树查找更稳定；
• 在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，B+树首先通过二分查找，找到范围下限，然后遍历叶子节点链表直至找到上限；而B树首先二分查找到范围下限，在不断通过中序遍历，直到查找到范围的上限。
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B* 树的介绍

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子节点之间增加指向兄弟的指针。（非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块儿的最低使用率为1/2）

有n棵子树的结点中含有n个关键字，每个关键字不保存数据，只用来索引。

注：B*树分配新节点的概率比B+树要低（B+：当一个结点满时，分配一个新的结点；B*：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中），空间使用率要高（因为每一个块儿的使用率都不是百分之百）。