The Tower of Hanoi

汉诺塔游戏是19世纪由法国数学家 Lucas 发明的，这个游戏由三根柱子以及n个大小不一的圆盘组成，初始时全部的圆盘都放在第一个柱子（最左边的柱子）上，并且从小到大排列，游戏的目标是将全部的圆盘从小到大放到第二个柱子上，游戏规则是：“每次只能移动一个圆盘，任何时候都不能把较大的圆盘叠在较小的圆盘上”。

我们在这里需要讨论如果要完成游戏，则需要移动的次数。

设 $H_n$ 表示当有n个圆盘时用方法A需要移动的次数。我们可以先用方法A将前n-1个圆盘移到第3个柱子（移动次数为$H_{n-1}$），再将最左边柱子的剩下的一个圆盘移到第二个柱子（移动次数为1次），再将第三个柱子上的n-1个圆盘用方法A放到第2个柱子上（移动次数为$H_{n-1}$），因此$H_n=2H_{n-1}+1$，其中$H_1=1$。

解得：$H_n=2^n -1$

因此需要指数次的移动次数才能够完成汉诺塔。

 

Reve's Puzzle（雷夫难题）：4个柱子的汉诺塔问题。