二分查找（上）
什么是二分查找？
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思考题
我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。
我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单,那该怎么做？
最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这 10个订单，直到找到金额等于 19 元的订单为止，
但这样查找会比较慢，数据多了呢，那用二分查找能不能更快速地解决呢？
利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。
总结：
二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
时间复杂度分析？
我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。
- 时间复杂度
可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2k=1，我们可以求得k=log2n，所以时间复杂度就是O(logn)。
- 认识O(logn)
- 这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
- 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
- 由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。
如何实现二分查找？
1.循环实现
public int binarySearch1(int[] a, int val){
int start = 0;
int end = a.length - 1;
while(start <= end){
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else if(a[mid] < val) start = mid + 1;
else return mid;
}
return -1;
}
注意事项：
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循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。
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mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围（把low，high看成数轴上两个点，二者的中点mid，可不就是在low基础上再加上区间长度（high-low）的一半吗？也就是low+(high-low)/2,更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
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start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。
- 递归实现
public int binarySearch(int[] a, int val){
return bSear(a, val, 0, a.length-1);
}
private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {
if(start > end) return -1;
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] == val) return mid;
else if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else start = mid + 1;
return bSear(a, val, start, end);
}
使用条件（应用场景的局限性）
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二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
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二分查找针对的是有序数据。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。
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数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
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数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
思考
- 如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
- 1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
- 用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
- 在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
