射线和三角面求交

一、平面射线与线段是否相交

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1.1 相交检测

步骤

1、判断射线方向$\vec{d}$（单位向量）是否与线段所在方向$\vec{AB}$是否平行，如果平行则不相交

2、假设射线与线段交点为$P$，则计算$|\vec{AP}|$与$|\vec{AB}|$的比例$u$

3、如果$u < 0$或者$u > 1$则不相交

4、计算出$|\vec{OP}|$的长度 $t$，由$P = O + t * \vec{d}$即可计算出交点坐标

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关键过程

1、$\vec{d}$是否与$\vec{AB}$平行

判断$\vec{d}$是否和$\vec{AB}$平行可以采用向量叉乘，如果叉乘结果为零，则表示两向量平行

2、计算$u$和$t$

设交点为$P$，其坐标可以表示为：

$P = O + t * \vec{d} = A + u * \vec{AB}$

所以：

$u * \vec{AB} - t * \vec{d} = \vec{AO}$

即有：

$$\left\{\begin{matrix} ux_{AB} - tx_d = x_{AO} \\ uy_{AB} - ty_d = y_{AO} \end{matrix}\right.$$

依据克莱姆法则可知：

$$u = \frac{D_1}{D}$$

$$t = \frac{D_2}{D}$$

其中：

$$D = \begin{vmatrix} x_{AB} & -x_d\\ y_{AB} & -y_d\\ \end{vmatrix}$$

$$D_1 = \begin{vmatrix} x_{AO} & -x_d\\ y_{AO} & -y_d\\ \end{vmatrix}$$

$$D_2 = \begin{vmatrix} x_{AB} & x_{AO}\\ y_{AB} & y_{AO}\\ \end{vmatrix}$$

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1.2 几何意义

如下图向量$\vec{AB}$与$\vec{AO}$构成成平行四边形$ABB'O$，向量$\vec{OP}$与$\vec{A'B'}$构成平行四边形$OPP’B'$（$\vec{A'B'}$为$\vec{AB}$平移到$A$与$O$重合），由于底边长都是$|\vec{AB}|$且高度相同，所以这两个平行四边形面积相等。

另外平面向量叉乘可以表示两向量组成平行四边形的有向面积，所以$t$可以表示为$\vec{AB}$与$\vec{AO}$的叉乘除以$\vec{AB}$与单位方向向量$\vec{d}$的叉乘，即上面的$t = \frac{D_2}{D}$中$D$在该例中表示$S_{ODD'B'}$，$D_2$表示$S_{ABB'O}$。

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1.3 代码实现

bool RayIntersection(const Point2 & ori, const Vector2& dir, const Point2& A, const Point2& B, double& t)
{
    Vector2 AB = B - A;
    // 1. 判断是否平行
    if (std::abs(dir.Cross(AB)) < std::numeric_limits<double>::epsilon() ){
        return false;
    }
    dir.Normalize();  // 归一化向量
    
    Vector2 AO = ori - A;
    
    double D = AB.Cross(-dir);
    double D1 = AO.Cross(-dir);  
     
    if(D1 < 0 || D1 > D){         // 减少一次除法运算,即 0 <= u <= 1。超出线段AB范围
        return false;
    }
    
    double D2 = AB.Cross(AO);
    t = D2 / D;
    return true;
}

二、空间射线与三角面是否相交

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2.1 相交检测

步骤

1、判断射线方向$\vec{d}$（单位向量）与三角面所在平面是否共面，如果不共面则进行后续步骤，否则需要退回二维情况进行判断

2、假设射线与三角面$ABC$交点为$P$，则计算$\vec{AP}$在向量$\vec{AB}$方向的比例$u$和在向量$\vec{AC}$方向的比例$v$

3、如果$u < 0$或者$u > 1$则不相交

4、如果$v < 0$或者$u + v > 1$则不相交（如果$u+v>1$，则交点落在三角面$BCD$内）

4、计算出$|\vec{OP}|$的长度 $t$，由$P = O + t * \vec{d}$即可计算出交点坐标

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关键过程

1、$\vec{d}$是否与面$ABC$共面

可以采用$\vec{AB}$和$\vec{AC}$的向量叉乘计算出法线$\vec{n}$，法线$\vec{n}$满足右手法则，其长度表示平行四边行$ABDC$的面积；

然后判断法线$\vec{n}$和方向向量$\vec{d}$的点乘是否为零，点乘为零则表示共面

2、计算$u$，$v$和$t$

设交点为$P$，其坐标可以表示为：

$P = O + t * \vec{d} = A + u * \vec{AB} + v * \vec{AC}$

所以：

$u * \vec{AB} + v*\vec{AC}- t * \vec{d} = \vec{AO}$

即有：

$$\left\{\begin{matrix} ux_{AB} + vx_{AC}- tx_d = x_{AO} \\ uy_{AB} + vy_{AC}- ty_d = y_{AO} \\ uz_{AB} + vz_{AC}- tz_d = z_{AO} \end{matrix}\right.$$

依据克莱姆法则可知：

$$u = \frac{D_1}{D}$$

$$v = \frac{D_2}{D}$$

$$t = \frac{D_3}{D}$$

其中：

$$D = \begin{vmatrix} x_{AB} & x_{AC} & -x_d\\ y_{AB} & y_{AC} & -y_d\\ z_{AB} & z_{AC} & -z_d\\ \end{vmatrix}$$

$$D_1 = \begin{vmatrix} x_{AO} & x_{AC} & -x_d\\ y_{AO} & y_{AC} & -y_d\\ z_{AO} & z_{AC} & -z_d \\ \end{vmatrix}$$

$$D_2 = \begin{vmatrix} x_{AB} & x_{AO} & -x_{d}\\ y_{AB} & y_{AO} & -y_{d}\\ z_{AB} & z_{AO} & -z_{d}\\ \end{vmatrix}$$

$$D_3 = \begin{vmatrix} x_{AB} & x_{AC} & x_{AO}\\ y_{AB} & y_{AC} & y_{AO}\\ z_{AB} & z_{AC} & z_{AO}\\ \end{vmatrix}$$

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2.2 几何意义

如下图向量$\vec{AB}$与$\vec{AC}$以及$\vec{AO}$构成成平行六面体（红色），向量$\vec{A'O}$与$\vec{A'B'}$以及$\vec{A'C'}$构成平行六面体 （绿色）（$\vec{A'B'}$为$\vec{AB}$平移到$A$与$P$重合，$\vec{A'C'}$为$\vec{AC}$平移到$A$与$P$重合），由于底面都是$ABDC$且高度相同，所以这两个平行六面体体积相等。

另外三维向量叉乘可以结果长度表示两向量组成平行四边形的面积，方向为两个组成平面的法线方向，三个三维向量的混合积（先叉乘（底面积）再点乘（高））表示其有向体积。所以$t$可以表示为$\vec{AB}$与$\vec{AC}$以及$\vec{AO}$的混合积除以单位方向$\vec{AB}$与$\vec{AC}$以及向量$\vec{d}$的混合积，即上面的$t = \frac{D_3}{D}$中$D$在该例中表示蓝色平行六面体的有向体积，$D_3$表示红色平行六面体有向体积。

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2.3 代码实现

bool RayIntersection(const Point3 & ori, const Vector3& dir, const Point3& A, const Point3& B, double& t)
{
    Vector3 AB = B - A;
    Vector3 AC = C - A;
    
    Vector3 n = AB.Cross(AC);
    // 1. 判断是否共面
    if (std::abs(dir.Dot(n)) < std::numeric_limits<double>::epsilon() ){
        // 共面，需要转换到平面判断是否相交，这里直接认为不相交
        return false;
    }
    dir.Normalize();  // 归一化向量
    
    Vector3 AO = ori - A;
    
    double D = n.Dot(-dir);
    double D1 = AO.Cross(AC).Dot(-dir);  
     
    if(D1 < 0 || D1 > D){         // 减少一次除法运算,即 0 <= u <= 1。超出线段AB范围
        return false;
    }
    
    double D2 = AB.Cross(AO).Dot(-dir);
    // 减少一次除法运算，即0 <= v <= 1, 其他情况超出线段AC的范围， 这里u+v<1限制落在三角面ABC中，u+v>1可能会落在BCD或四边形ABDC外部
    if(D2 < 0 || D1 + D2 > D){   
        return false;
    }
    
    double D3 = n.Dot(AO)
    t = D3 / D;
    return true;
}

参考链接

克莱姆法则及其几何意义

混合积

平行六面体有向体积示例