线段相交

记两线段为\(AB\)与\(CD\)

一、方法一

1. 先判断线段是否共线

依据共线向量叉乘为零来判断
\(\vec{AB}\)与\(\vec{CD}\)叉乘是否为0，如果为0则共线

2. 在不共线情况下判断是否相交

依据\(0 \leq t \leq 1\)且\(0 \leq u \leq 1\)来判断，其中\(t\)和\(u\)的推导过程如下：

假设交点为\(P\)，则有\(P = A + \vec{AB} * t, \quad t \in [0, 1]\)且 \(P = C + \vec{CD} * u, \quad u \in [0, 1]\)
即

\(A + \vec{AB} * t = C + \vec{CD} * u \quad ==> \quad \vec{AB} * t = \vec{AC} + \vec{CD}*u\)

由于向量自身的叉乘为0，所以上式两边同时叉乘\(\vec{CD}\)可得：

\(\vec{CD} \times \vec{AB} * t = \vec{CD} \times \vec{AC}\)，

变形可得：

\(t = \frac{\vec{CD} \times \vec{AC}}{\vec{CD} \times \vec{AB}}， t \in [0, 1]\)

同理，两边同时叉乘\(\vec{AB}\)可得：\(-\vec{AB} \times \vec{CD} * u = \vec{AB} \times \vec{AC}\)，所以：

\(u = \frac{\vec{AB} \times \vec{AC}}{\vec{CD} \times \vec{AB}}， u \in [0, 1]\)

3. 在相交的情况下计算交点

依据第2步计算的\(t\)和\(u\)，代入：\(P = A + \vec{AB} * t, \quad t \in [0, 1]\)且 \(P = C + \vec{CD} * u, \quad u \in [0, 1]\)即可求出交点\(P\)的坐标

代码实现

struct Point {
  float x, y;
  Point(const float& px = 0, const float& py = 0) : x(px), y(py) {}
  Point operator+(const Point& p) const {
    return Point(x + p.x, y + p.y);
  }
  Point& operator+=(const Point& p) {
    x += p.x;
    y += p.y;
    return *this;
  }
  Point operator-(const Point& p) const {
    return Point(x - p.x, y - p.y);
  }
  Point operator*(const float coeff) const {
    return Point(x * coeff, y * coeff);
  }
};

float Dot2d(const Point & A, const Point & B) {
  return A.x * B.x + A.y * B.y;
}
 
float Cross2d(const Point & A, const Point & B) {
  return A.x * B.y - B.x * A.y;
}

bool IsInsert(const Point& A, const Point& B, const Point& C, const Point&D)
{
     Point AB = B - A;
     Point CD = D - C;
     float det = Cross2d(CD , AB);

      // This takes care of parallel lines
      if (std::fabs(det) <= 1e-14) {
        return false;
      }

      Point AC= C - A;

      double t = Cross2d(CD, AC) / det;
      double u = Cross2d(AB, AC) / det;

      if (t > -EPS && t < 1.0f + EPS && u > -EPS && u < 1.0f + EPS) {
         return true;
         // intersections P = A + AB * t;
      }
}

二、方法二

1. 先判断线段是否共线

同方法一

2. 在不共线情况下判断是否相交

依据线段相交则一条线段两端点位于另一线段两侧来判断
相交情况下有如下两种情形：

判断是否在两侧可以依据两个向量的叉乘(右手法则)，如下：

\(\vec{OA} \times \vec{OB} > 0\)，则\(\vec{OB}\)在\(\vec{OA}\)的逆时针方向
\(\vec{OB} \times \vec{OA} < 0\)，则\(\vec{OA}\)在\(\vec{OB}\)的顺时针方向

所以在相交的两种情况下有：

• 情况1
  点\(C\)和\(D\)在\(AB\)两侧，则有：

\((\vec{AC} \times \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} \times \vec{AB}) < 0\)

点\(A\)和\(B\)在\(CD\)两侧，则有：

\((\vec{CA} \times \vec{CD}) \cdot (\vec{CB} \times \vec{CD}) < 0\)

• 情况2
  由于端点在线段上，所以有一个叉乘为0，因此：

\((\vec{AC} \times \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} \times \vec{AB}) = 0\) 且 \((\vec{CA} \times \vec{CD}) \cdot (\vec{CB} \times \vec{CD}) = 0\)

代码实现

bool IsInsert(const Point& A, const Point& B, const Point& C, const Point&D)
{
     Point AB = B - A;
     Point CD = D - C;
     Point AC = C - A; 
     Point AD = D - A;
     Point CB = B - C;
     Point CA = -AC;  
     float det = Cross2d(CD , AB);

     // This takes care of parallel lines
     if (std::fabs(det) <= 1e-14) {
        return false;
     }

     if (Cross2D(AC, AB) * Cross2D(AD, AB) <= EPS  &&  Cross2D(CA, CD) * Cross2D(CB, CD)< EPS) {
         return true; 
     }
}

参考链接

line_intersection
Two_line_segments