概率论与数理统计

一.随机试验、样本空间与随机事件

1.自然界与社会生活的两种现象

（1）. 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。

（2）. 随机现象：在一定条件下具有多种可能结果，且实验时无法确定出现那种结果的现象。

2.随机试验

随机试验：对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。

特性：（1）. 可以在相同条件下重复进行

特性：（2）. 事先知道所有可能出现的结果

特性：（3）. 进行实验时并不知道那种结果会发生

3.样本空间

样本空间：随机实验的所有可能结果组成的集合叫做样本空间 记作  S={e}

样本点：集合S中的元素叫做样本点

（连续，离散）

4.随机事件

随机事件：样本空间S的子集A称为随机事件A，简称事件A，

随机事件A发生：当且仅当A中的某个样本点发生称为随机事件A发生。

随机事件A的表示：集合    语言

分类如下－－

必然事件：如果把S（样本空间）看作随机事件，则每次实验S总是发生，所以S称为必然事件。

基本事件：如果时间只含有一个样本点，称其为基本事件。

不可能事件：如果时间是空集，里面不包含任何样本点，记作Φ，则每次实验Φ都不会发生，称Φ为不可能事件。

二.事件的相互关系及运算

1.事件的关系

事件的包含关系：A$\subset$B 事件A发生一定导致事件B发生。

事件的相等关系：A=B  A$\subset$B且B$\subset$A  事件A发生一定导致事件B发生且事件B发生一定导致事件A发生。

2.事件的运算

和事件：A与B的和事件记作：A$\cup$B。       A$\cup$B = $\left \{ X|X \in A 或 X \in B \right \}$    A与B至少有一个发生。

$\bigcup_{i=1}^{n}$A_i   表示A₁，A₂，A₃，... A_n至少有一个发生。

积事件：A与B的积事件记作：A$\cap$B。       A$\cap$B = $\left \{ X|X \in A 且 X \in B \right \}$    A与B同时发生。

$\bigcap_{i=1}^{n}$A_i    表示A₁，A₂，A₃，... A_n同时发生。

互斥事件：当AB = $\varnothing $时，称事件A与B不相容或互斥。

差事件：A与B的差事件记作：A-B=$\left \{ X|X\in A 且 X \notin B \right \}$   A-B=A$\overline{B}$=A$\cup$B-B=A-AB

逆事件：A的逆事件记作：$\overline{A}$，也称A的互逆或对立事件。

A $\cup\overline{A}$ = S    A$\overline{A}$ = $\varnothing $    $\overline{\overline{A}}$=A

3.事件的运算定律

交换律：A$\cup$B = B$\cup$A   A$\cap$B = B$\cap$A

结合律：(A$\cup$B)$\cup$C = A$\cup$(B$\cup$C)   (A$\cap$B)$\cap$C = A$\cap$(B$\cap$C)

分配率：A$\cup$(B$\cap$C) = (A$\cup$B)$\cap$(A$\cup$B)   A$\cap$(B$\cup$C) = (A$\cap$B)$\cup$(A$\cap$B)

对偶率：$\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B}$    $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}$

$\overline{\bigcap_{i=1}^{n}Ai} =\overline{A1}\cup\overline{A2}\cup\overline{A3} ... \cup\overline{An}$

$\overline{\bigcup_{i=1}^{n}Ai} =\overline{A1}\cap\overline{A2}\cap\overline{A3} ... \cap\overline{An}$