20231108数数与dp题笔记

数数与dp

CF294C Shaass and Lights

记被分成的 $m+1$ 段每一段的长度为 $l_i$

答案为

$$\frac{(n-m)!}{\prod\limits_{i=1}^{m+1}l_i!}\times \prod\limits_{i=1}^{m+1}2^{l_i-1}$$

前面是不同段之间的顺序打乱，后面是每一段中前 $l_i-1$ 个操作各有 $2$ 个选择

CF1753C Wish I Knew How to Sort

先数有几个 $0$ 记为 $cnt$

在数前 $cnt$ 个有几个 $1$ 记为 $tot$

答案为

$$\sum\limits_{i=1}^{tot}\frac{n(n-1)}{2i^2}$$

即对于每一对有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 操作，其中有 $i^2$ 对操作是有效的，即从 $[1,cnt]$ 选一个 $1$ 与一个 $[cnt+1,n]$ 选一个 $0$ 交换

CF1657E Star MST

dp[i][j] 表示考虑到第 $i$ 个点，目前和 $1$ 相连的最长的边为 $j$ 的方案数

令 $sum_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^j{dp_{i,k}}$

$$dp_{i,j}=\sum\limits_{t=1}^{i-1}sum_{t,j-1}\binom{n-t}{i-t}(k-j+1)^{\frac{(i+t-3)(i-t)}{2}}$$

CF660E Different Subsets For All Tuples

经典套路，转化为求每个可能的串的贡献

发现对于长度相同的串，贡献是一样的，所以考虑怎么求一个定长的串的贡献

设当前考虑的串长为 $k$ , 最后一个字符的位置为 $j$

选择哪些是子串内的有 $\binom{j-1}{k-1}$ 种方案， $j$ 之前每个非子串内的字符有 $m-1$ 种选择，因为不能提前选到下一个字符，$j$ 之后的字符每个有 $m$ 种选择

所以总共有

$$\sum\limits_{k=1}^{n}m^k\sum\limits_{j=k}^n\binom{j-1}{k-1}(m-1)^{j-k}m^{k-1} = \sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^jm^{n-j}m^k(m-1)^{j-k}\binom{j}{k}$$

注意到 $m^k(m-1)^{j-k}$ 是二项式形式，所以原式为

$$\sum\limits_{j=0}^{n-1}m^{n-j}(2m-1)^j$$

暴力计算即可

p.s. 好像最后是个卷积可以FFT?

CF785D Anton and School - 2

统计前缀左括号和后缀右括号个数 对与每个左括号 以它为最后一个左括号的答案数量为

$$\sum\limits^{min(pre_x,suf_x)}_{i=1}\binom{pre_x}{i}\binom{suf_x}{i}=\binom{pre_x+suf_x+1}{pre_x}$$

CF1540B Tree Array

先枚举根节点

枚举两个点 $x,y(x>y)$ 考虑这两个点产生逆序对的概率，其实等于给定两个长度分别为 $dep_x-dep_{lca},dep_y-dep_{lca}$ 的序列，每次概率均等的取走一个， 前者在后者之前取完的概率

dp[i][j] 表示长度分别为 $i,j$ 时的概率

$$dp_{i,j}=\frac{dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}}{2}$$

CF1716F Bags with Balls

挖坑待填

CF1437F Emotional Fishermen

最后的序列一定为 $P_1...P_2...P_3...$

其中满足 $P_i\leq P_{i+1}$

对 $a$ 排序以后求出 $lim_i$ 表示最大的 $j$ 使得 $2a_j\leq a_i$

设 dp[i] 表示当前 $i\in P$ 的方案数

$$dp_i=\sum\limits_{j=0}^{lim_i} dp_j\times A_{n-lim_j-2}^{lim_i-lim_j-1}$$

CF1657F Words on Tree

不太理解这为什么被扔数数题里了

考虑每个操作其实是给了每个点两种可能，最后其实是问能不能使所有的点不冲突，明显可以 2-SAT 做

CF1626F A Random Code Problem

对于每个 $a_i$ 先对 $lcm(1,2,\cdots,k-1)$ 取模对答案是没有影响的，因为不会影响余数，即不会影响每次减去的数

于是 $1\leq a_i \leq 998244353$ 转化为 $1\leq a_i < 720720$

dp[i][j] 表示第 $i$ 轮后，值为 $j$ 的数的期望个数

$$dp_{i+1,j}\leftarrow dp_{i,j}\times (n-1) \\ dp_{i+1,j-(j\mod{i+1})\leftarrow dp_{i,j}}$$