速通 微积分 A(2)
这是一份功利性的复习资料，只会记录做题需要用的一些套路。
参考资料：
Hessian 矩阵正定 \(\Rightarrow\) 严格凸 \(\Rightarrow\) 凸 \(\Rightarrow\) Hessian 矩阵半正定。
重积分换元：\(\int_{\Omega}f(y)\mathrm d\mu(y)=\int_{D}f(\varphi(x))\det(\frac{\part \mu(y)}{\part\varphi(x)})\mathrm d\mu(x)\)，注意这里的行列式也能写作 \(\det(\frac{\part\varphi(x)}{\part\mu(y)})^{-1}\)。
- 球坐标系：\(r^2\sin\theta\)（\(x=r\sin\theta\cos\varphi,y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos \theta\)）；
- 柱坐标系 / 极坐标系：\(r\)。
泰勒展开
\(k\) 阶 Peano 余项：算到 \(o(||v||^k)\)。
\(k\) 阶 Lagrange 余项：用中值定理估计 \(k+1\) 次项。
隐函数定理
设隐函数 \(F:\R^m\times\R^n\rightarrow\R^n\in C^k\) 满足 \(F(x_0,y_0)=0\) 且 \(\part_yF(x_0,y_0)\) 可逆，则存在 \((x_0,y_0)\) 的邻域 \(V\times W\) 和映射 \(g:V\rightarrow W\in C^k\) 使得 \(F(x,y)=0\Leftrightarrow y=g(x)\) 对于一切 \((x,y)\in V\times W\) 成立，且我们有 \(\part_x g(x)=-\frac{\part_x F(x,g(x))}{\part_yF(x,g(x))}\)（微分可以立即得到）。
切向量，切平面，法向量，法平面
| 表达形式 | 切向量/切平面 | 法向量/法平面 |
|---|---|---|
| 曲面 \(F(x,y,z)=0\) | \(\nabla F\cdot(x-x_0)=0\) | \(\nabla F\) |
| 曲面 \(x(u,v)\) | \(x_0+\operatorname{span}\{\frac{\part x}{\part u},\frac{\part x}{\part v}\}\) | \(\frac{\part x}{\part u}\times\frac{\part x}{\part v}\) |
| 曲线 \(\pmatrix{F\\G}(x,y,z)=0\) | \(\nabla F\times\nabla G\) | \(x_0+\operatorname{span}\{\nabla F,\nabla G\}\) |
| 曲线 \(x(u)\) | \(x'(t_0)\) | \(x'(t_0)\cdot(x-x_0)=0\) |
极值
求解 \(\nabla F=0\) 得到驻点，计算 Hessian 矩阵，对每个驻点验证是否正定。若非退化可以直接判定，否则需使用近似分析法（添加微扰，然后 Taylor 展开），更高阶 Taylor 展开，或考察邻域内是否半正定（然后使用带拉格朗日余项的二阶 Taylor 公式）。
- 必要条件：梯度为零，海森矩阵半正定；
- 充分条件：梯度为零，海森矩阵正定（或在邻域内半正定）。
- 一元可微凸函数梯度为零一定是最小值。
- 微分法：检查二阶微分是否恒正恒负，注意在对条件极值问题检查时有一个技巧，\(f(X)+\lambda c(X)\) 求两次微分的结果是 \(\mathrm d^2f(X)+\lambda\mathrm d^2 c(X)+2\mathrm d\lambda\mathrm d c(X)+\mathrm d^2\lambda c(X)\)，而后面两项均为零（前者是因为 \(\mathrm d\lambda\) 是与 \(\lambda\) 无关的变量，后者则是因为我们要选取的是切平面上的向量作为方向向量，而切平面上一定有 \(\mathrm dC(X)=0\)），另外这里需要注意例如 \(\mathrm d^2z=\mathrm d^2 x\) 不是极值点。
- 对于条件极值问题，我们可以将符合条件的曲面参数化，对问题降维（使用极坐标系，球坐标系，配方法之类技巧）。
- 问题中可能有隐藏约束条件，求完驻点后需要验证。
隐函数的极值：将 \(F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0\) 微分得到 \(\frac{\part F}{\part x_1}\mathrm dx_1+\frac{\part F}{\part x_2}\mathrm dx_2+\cdots+\frac{\part F}{\part x_n}\mathrm dx_n+\frac{\part F}{\part y}\mathrm dy=0\)，带入 \(\mathrm dy=0\) 得到驻点满足的条件 \(\frac{\part F}{\part x_1}=\frac{\part F}{\part x_2}=\cdots=\frac{\part F}{\part x_n}=F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0\)。求出驻点 \((x_0,y_0)\) 后可使用近似分析法（\(0=F(x_{01}+v_1,x_{02}+v_2,\cdots,x_{0n}+v_n,y_0+u)\Rightarrow u=\cdots+o(||v||^k)\)）或微分法（微分得到 \(\sum_{i,j}\frac{\part^2 F}{\part x_i\part x_j}\mathrm dx_i\mathrm dx_j+2\sum_{i}\frac{\part^2 F}{\part x_i\part y}\mathrm dx_i\mathrm dy+\frac{\part^2 F}{\part y^2}(\mathrm dy)^2+\frac{\part F}{\part y}\mathrm d^2y=0\)）检查其走势。
曲线 / 曲面积分
\(\frac{\part \vec F}{\part\vec u}=(\frac{\part F}{\part x},\frac{\part F}{\part y},\frac{\part F}{\part z})\).
\(\mathrm d\sigma=||\frac{\part x}{\part u}\mathrm du||||\frac{\part x}{\part v}\mathrm dv||\sin\theta=\sqrt{||\frac{\part x}{\part u}||^2\cdot||\frac{\part x}{\part v}||^2-\langle\frac{\part x}{\part u},\frac{\part x}{\part v}\rangle^2}\mathrm du\mathrm dv\).
\(\vec F=\pmatrix{P&Q&R},\operatorname{rot} \vec F=\nabla\times\vec F=\det\pmatrix{\vec i&\vec j&\vec k\\\frac{\part}{\part x}&\frac{\part}{\part y}&\frac{\part }{\part z}\\P&Q&R}\).
第一型曲线积分：
- 弧长：直角坐标系 \(\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}\)，极坐标系 \(\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2}\)，柱坐标系：\(\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2+\mathrm dz^2}\)。
第二型曲线积分：
- 对于自然正向的简单闭曲线，\(\oint_\gamma x\mathrm dy=\oint_\gamma -y\mathrm dx=\frac12\oint x\mathrm dy-y\mathrm dx=S\)，即面积。
Green 公式：
- \(\int_\Omega\operatorname{div} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm dl\)；
- \(\int_\Omega\operatorname{curl} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega}\vec F\cdot \vec x\mathrm dl\)（\(\vec x\) 是切向量）；
- \(\int_\Omega(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y})\mathrm dx\mathrm dy=\oint_{\part\Omega}P\mathrm dx+Q\mathrm dy\)。
第一型曲面积分：
- \(z=f(x,y)\)：\(\iint_{\Omega}\sqrt{1+||\nabla f||^2}\mathrm dx\mathrm dy\)。
- 参数表示：\(\iint_{\Omega}f(x(u,v))|(x_u,y_u,z_u)\times(x_v,y_v,z_v)|\mathrm du\mathrm dv\)。
Gauss 公式：
- \(\iint_{\part \Omega} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\)。
- \(\iint_{\part \Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{div} F\mathrm dV\)；
- \(\iint_{\part \Omega} \vec F\times \vec n \mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{rot} F\mathrm dV\)。
Stokes 公式：
- \(\iint_{\Omega}\det\pmatrix{\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\part}{\part x}&\frac{\part}{\part y}&\frac{\part}{\part z}\\P&Q&R}\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz\)。
带参和式/积分计算
可以考虑对参数积分再求导 / 先求导再积分。
例：\(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nnx^{2n-1}}{(2n+1)!}\)。
对 \(x\) 积分得到 \(\frac12\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}=\frac{(\sin x-x)}{2x}\)。
求导得到原式等于 \(\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2}\)。
一些判定性问题
一致收敛的判定：
- 一致 Cauchy；
- Weierstrass 强函数；
- Dirichlet / Abel。
含参定积分：
- 连续性：关于参数逐点连续，在给定位置处关于参数连续，且这一连续对 \(x\) 一致 / 二元连续 / 关于参数可积且每个参数的偏导有界（中值定理）。
- 偏导：关于参数的偏导二元连续；
- 可积性：二元连续。
含参广义积分：
- 连续性：广义积分一致收敛，且给定位置关于参数的连续性在任何有界闭区间上一致成立（选一个包含给定位置的区间讨论其连续性即可）；
- 可微性：广义积分收敛，关于参数的偏导二元连续，偏导的积分一致收敛；
- 可积性：广义积分一致收敛；
- 广义可积性：两个广义积分均一致收敛。
级数的敛散性判定：
- Cauchy 收敛：考察部分和序列；
- 收敛的必要条件：趋于零；
- Weierstrass 强级数；
- D’Alembert 判别法：令 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{||a_{n+1}||}{||a_n||}=\rho\)，\(\rho>1\) 发散，\(\rho<1\) 绝对收敛；
- Cauchy 根式判别法：\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\)，\(\rho>1\) 发散，\(\rho<1\) 绝对收敛；
- 积分判别法：要求恒正且单调递减；
- Raabe 判别法：令 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}n(\frac{||a_n||}{||a_{n+1}||}-1)=\rho\)，\(\rho>1\) 绝对收敛，\(\rho<1\) 发散；
- Leibniz 交错级数判别法：要求绝对值单调递减且趋于零；
- Dirichlet / Abel：前者部分和序列有界后者单调趋于零 / 前者收敛后者单调有界。
函数项级数：
- 连续性：要求每一个求和的函数均在给定位置连续；
- 可积性：要求每一个函数可积；
- 可微性：要求求导后的函数项级数收敛，且原函数级数在某点收敛；
- Dirichlet / Abel：前者部分和序列一致有界后者单调趋于零 / 前者一致收敛后者单调一致有界。
幂级数：
- Cauchy 测试：\(R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n})^{-1}\)；
- D’Alembert 测试：\(R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|})^{-1}\)；
- 收敛区间 / 收敛域：后者需要讨论边界上的敛散性；
- 幂级数在 \(B(0,R)\) 上内闭一致绝对收敛，和函数在 \(B(0,R)\) 上连续；
- 若幂级数在 \(x_1,x_2\) 收敛，那么在区间 \([x_1,x_2]\) 收敛；
- 对于两个收敛半径分别为 \(r_a,r_b\) 的幂级数，其和的收敛半径 \(r\geqslant\min(r_a,r_b)\)，且 \(r_a\ne r_b\) 时取等。
Fourier
Bessel 不等式：\(\frac{A_0^2}{2}+\sum_{n=1}^N(A_n^2+B_n^2)\leqslant\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\mathrm dx\)（Parseval 等式即取等）。
dini 判别法（弱化）：周期为 \(2\pi\) 的逐段可微函数，在 \(x_0\) 处 Fourier 级数收敛于 \(\frac12(f(x_0-0)+f(x_0+0))\)。
