Examples

速通 微积分 A(2)

这是一份功利性的复习资料,只会记录做题需要用的一些套路。

参考资料:

微积分习题课笔记


Hessian 矩阵正定 \(\Rightarrow\) 严格凸 \(\Rightarrow\)\(\Rightarrow\) Hessian 矩阵半正定。

重积分换元:\(\int_{\Omega}f(y)\mathrm d\mu(y)=\int_{D}f(\varphi(x))\det(\frac{\part \mu(y)}{\part\varphi(x)})\mathrm d\mu(x)\),注意这里的行列式也能写作 \(\det(\frac{\part\varphi(x)}{\part\mu(y)})^{-1}\)

  • 球坐标系:\(r^2\sin\theta\)\(x=r\sin\theta\cos\varphi,y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos \theta\));
  • 柱坐标系 / 极坐标系:\(r\)

泰勒展开

\(k\) 阶 Peano 余项:算到 \(o(||v||^k)\)

\(k\) 阶 Lagrange 余项:用中值定理估计 \(k+1\) 次项。

隐函数定理

设隐函数 \(F:\R^m\times\R^n\rightarrow\R^n\in C^k\) 满足 \(F(x_0,y_0)=0\)\(\part_yF(x_0,y_0)\) 可逆,则存在 \((x_0,y_0)\) 的邻域 \(V\times W\) 和映射 \(g:V\rightarrow W\in C^k\) 使得 \(F(x,y)=0\Leftrightarrow y=g(x)\) 对于一切 \((x,y)\in V\times W\) 成立,且我们有 \(\part_x g(x)=-\frac{\part_x F(x,g(x))}{\part_yF(x,g(x))}\)(微分可以立即得到)。

切向量,切平面,法向量,法平面

表达形式 切向量/切平面 法向量/法平面
曲面 \(F(x,y,z)=0\) \(\nabla F\cdot(x-x_0)=0\) \(\nabla F\)
曲面 \(x(u,v)\) \(x_0+\operatorname{span}\{\frac{\part x}{\part u},\frac{\part x}{\part v}\}\) \(\frac{\part x}{\part u}\times\frac{\part x}{\part v}\)
曲线 \(\pmatrix{F\\G}(x,y,z)=0\) \(\nabla F\times\nabla G\) \(x_0+\operatorname{span}\{\nabla F,\nabla G\}\)
曲线 \(x(u)\) \(x'(t_0)\) \(x'(t_0)\cdot(x-x_0)=0\)

极值

求解 \(\nabla F=0\) 得到驻点,计算 Hessian 矩阵,对每个驻点验证是否正定。若非退化可以直接判定,否则需使用近似分析法(添加微扰,然后 Taylor 展开),更高阶 Taylor 展开,或考察邻域内是否半正定(然后使用带拉格朗日余项的二阶 Taylor 公式)。

  • 必要条件:梯度为零,海森矩阵半正定;
  • 充分条件:梯度为零,海森矩阵正定(或在邻域内半正定)。
  • 一元可微凸函数梯度为零一定是最小值。
  • 微分法:检查二阶微分是否恒正恒负,注意在对条件极值问题检查时有一个技巧,\(f(X)+\lambda c(X)\) 求两次微分的结果是 \(\mathrm d^2f(X)+\lambda\mathrm d^2 c(X)+2\mathrm d\lambda\mathrm d c(X)+\mathrm d^2\lambda c(X)\),而后面两项均为零(前者是因为 \(\mathrm d\lambda\) 是与 \(\lambda\) 无关的变量,后者则是因为我们要选取的是切平面上的向量作为方向向量,而切平面上一定有 \(\mathrm dC(X)=0\)),另外这里需要注意例如 \(\mathrm d^2z=\mathrm d^2 x\) 不是极值点。
  • 对于条件极值问题,我们可以将符合条件的曲面参数化,对问题降维(使用极坐标系,球坐标系,配方法之类技巧)。
  • 问题中可能有隐藏约束条件,求完驻点后需要验证。

隐函数的极值:将 \(F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0\) 微分得到 \(\frac{\part F}{\part x_1}\mathrm dx_1+\frac{\part F}{\part x_2}\mathrm dx_2+\cdots+\frac{\part F}{\part x_n}\mathrm dx_n+\frac{\part F}{\part y}\mathrm dy=0\),带入 \(\mathrm dy=0\) 得到驻点满足的条件 \(\frac{\part F}{\part x_1}=\frac{\part F}{\part x_2}=\cdots=\frac{\part F}{\part x_n}=F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0\)。求出驻点 \((x_0,y_0)\) 后可使用近似分析法(\(0=F(x_{01}+v_1,x_{02}+v_2,\cdots,x_{0n}+v_n,y_0+u)\Rightarrow u=\cdots+o(||v||^k)\))或微分法(微分得到 \(\sum_{i,j}\frac{\part^2 F}{\part x_i\part x_j}\mathrm dx_i\mathrm dx_j+2\sum_{i}\frac{\part^2 F}{\part x_i\part y}\mathrm dx_i\mathrm dy+\frac{\part^2 F}{\part y^2}(\mathrm dy)^2+\frac{\part F}{\part y}\mathrm d^2y=0\))检查其走势。

曲线 / 曲面积分

\(\frac{\part \vec F}{\part\vec u}=(\frac{\part F}{\part x},\frac{\part F}{\part y},\frac{\part F}{\part z})\).

\(\mathrm d\sigma=||\frac{\part x}{\part u}\mathrm du||||\frac{\part x}{\part v}\mathrm dv||\sin\theta=\sqrt{||\frac{\part x}{\part u}||^2\cdot||\frac{\part x}{\part v}||^2-\langle\frac{\part x}{\part u},\frac{\part x}{\part v}\rangle^2}\mathrm du\mathrm dv\).

\(\vec F=\pmatrix{P&Q&R},\operatorname{rot} \vec F=\nabla\times\vec F=\det\pmatrix{\vec i&\vec j&\vec k\\\frac{\part}{\part x}&\frac{\part}{\part y}&\frac{\part }{\part z}\\P&Q&R}\).

第一型曲线积分:

  • 弧长:直角坐标系 \(\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2}\),极坐标系 \(\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2}\),柱坐标系:\(\sqrt{\mathrm dr^2+(r\mathrm d\theta)^2+\mathrm dz^2}\)

第二型曲线积分:

  • 对于自然正向的简单闭曲线,\(\oint_\gamma x\mathrm dy=\oint_\gamma -y\mathrm dx=\frac12\oint x\mathrm dy-y\mathrm dx=S\),即面积。

Green 公式:

  • \(\int_\Omega\operatorname{div} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm dl\)
  • \(\int_\Omega\operatorname{curl} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega}\vec F\cdot \vec x\mathrm dl\)\(\vec x\) 是切向量);
  • \(\int_\Omega(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y})\mathrm dx\mathrm dy=\oint_{\part\Omega}P\mathrm dx+Q\mathrm dy\)

第一型曲面积分:

  • \(z=f(x,y)\)\(\iint_{\Omega}\sqrt{1+||\nabla f||^2}\mathrm dx\mathrm dy\)
  • 参数表示:\(\iint_{\Omega}f(x(u,v))|(x_u,y_u,z_u)\times(x_v,y_v,z_v)|\mathrm du\mathrm dv\)

Gauss 公式:

  • \(\iint_{\part \Omega} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\)
  • \(\iint_{\part \Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{div} F\mathrm dV\)
  • \(\iint_{\part \Omega} \vec F\times \vec n \mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{rot} F\mathrm dV\)

Stokes 公式:

  • \(\iint_{\Omega}\det\pmatrix{\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\part}{\part x}&\frac{\part}{\part y}&\frac{\part}{\part z}\\P&Q&R}\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz\)

带参和式/积分计算

可以考虑对参数积分再求导 / 先求导再积分。

例:\(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nnx^{2n-1}}{(2n+1)!}\)
\(x\) 积分得到 \(\frac12\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}=\frac{(\sin x-x)}{2x}\)
求导得到原式等于 \(\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2}\)

一些判定性问题

一致收敛的判定:

  • 一致 Cauchy;
  • Weierstrass 强函数;
  • Dirichlet / Abel。

含参定积分:

  • 连续性:关于参数逐点连续,在给定位置处关于参数连续,且这一连续对 \(x\) 一致 / 二元连续 / 关于参数可积且每个参数的偏导有界(中值定理)。
  • 偏导:关于参数的偏导二元连续;
  • 可积性:二元连续。

含参广义积分:

  • 连续性:广义积分一致收敛,且给定位置关于参数的连续性在任何有界闭区间上一致成立(选一个包含给定位置的区间讨论其连续性即可);
  • 可微性:广义积分收敛,关于参数的偏导二元连续,偏导的积分一致收敛;
  • 可积性:广义积分一致收敛;
  • 广义可积性:两个广义积分均一致收敛。

级数的敛散性判定:

  • Cauchy 收敛:考察部分和序列;
  • 收敛的必要条件:趋于零;
  • Weierstrass 强级数;
  • D’Alembert 判别法:令 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{||a_{n+1}||}{||a_n||}=\rho\)\(\rho>1\) 发散,\(\rho<1\) 绝对收敛;
  • Cauchy 根式判别法:\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\)\(\rho>1\) 发散,\(\rho<1\) 绝对收敛;
  • 积分判别法:要求恒正且单调递减;
  • Raabe 判别法:令 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}n(\frac{||a_n||}{||a_{n+1}||}-1)=\rho\)\(\rho>1\) 绝对收敛,\(\rho<1\) 发散;
  • Leibniz 交错级数判别法:要求绝对值单调递减且趋于零;
  • Dirichlet / Abel:前者部分和序列有界后者单调趋于零 / 前者收敛后者单调有界。

函数项级数:

  • 连续性:要求每一个求和的函数均在给定位置连续;
  • 可积性:要求每一个函数可积;
  • 可微性:要求求导后的函数项级数收敛,且原函数级数在某点收敛;
  • Dirichlet / Abel:前者部分和序列一致有界后者单调趋于零 / 前者一致收敛后者单调一致有界。

幂级数:

  • Cauchy 测试:\(R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n})^{-1}\)
  • D’Alembert 测试:\(R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|})^{-1}\)
  • 收敛区间 / 收敛域:后者需要讨论边界上的敛散性;
  • 幂级数在 \(B(0,R)\) 上内闭一致绝对收敛,和函数在 \(B(0,R)\) 上连续;
  • 若幂级数在 \(x_1,x_2\) 收敛,那么在区间 \([x_1,x_2]\) 收敛;
  • 对于两个收敛半径分别为 \(r_a,r_b\) 的幂级数,其和的收敛半径 \(r\geqslant\min(r_a,r_b)\),且 \(r_a\ne r_b\) 时取等。

Fourier

Bessel 不等式:\(\frac{A_0^2}{2}+\sum_{n=1}^N(A_n^2+B_n^2)\leqslant\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\mathrm dx\)(Parseval 等式即取等)。

\[\langle f,g\rangle=\frac{A_0a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(A_na_n+B_nb_n) \]

dini 判别法(弱化):周期为 \(2\pi\) 的逐段可微函数,在 \(x_0\) 处 Fourier 级数收敛于 \(\frac12(f(x_0-0)+f(x_0+0))\)

posted @ 2024-06-19 21:45  xiaoziyao  阅读(141)  评论(1编辑  收藏  举报