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Examples

速通 微积分 A(2)

这是一份功利性的复习资料,只会记录做题需要用的一些套路。

参考资料:

微积分习题课笔记


Hessian 矩阵正定 严格凸 Hessian 矩阵半正定。

重积分换元:Ωf(y)dμ(y)=Df(φ(x))det(μ(y)φ(x))dμ(x),注意这里的行列式也能写作 det(φ(x)μ(y))1

  • 球坐标系:r2sinθx=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ);
  • 柱坐标系 / 极坐标系:r

泰勒展开

k 阶 Peano 余项:算到 o(||v||k)

k 阶 Lagrange 余项:用中值定理估计 k+1 次项。

隐函数定理

设隐函数 F:Rm×RnRnCk 满足 F(x0,y0)=0yF(x0,y0) 可逆,则存在 (x0,y0) 的邻域 V×W 和映射 g:VWCk 使得 F(x,y)=0y=g(x) 对于一切 (x,y)V×W 成立,且我们有 xg(x)=xF(x,g(x))yF(x,g(x))(微分可以立即得到)。

切向量,切平面,法向量,法平面

表达形式 切向量/切平面 法向量/法平面
曲面 F(x,y,z)=0 F(xx0)=0 F
曲面 x(u,v) x0+span{xu,xv} xu×xv
曲线 (FG)(x,y,z)=0 F×G x0+span{F,G}
曲线 x(u) x(t0) x(t0)(xx0)=0

极值

求解 F=0 得到驻点,计算 Hessian 矩阵,对每个驻点验证是否正定。若非退化可以直接判定,否则需使用近似分析法(添加微扰,然后 Taylor 展开),更高阶 Taylor 展开,或考察邻域内是否半正定(然后使用带拉格朗日余项的二阶 Taylor 公式)。

  • 必要条件:梯度为零,海森矩阵半正定;
  • 充分条件:梯度为零,海森矩阵正定(或在邻域内半正定)。
  • 一元可微凸函数梯度为零一定是最小值。
  • 微分法:检查二阶微分是否恒正恒负,注意在对条件极值问题检查时有一个技巧,f(X)+λc(X) 求两次微分的结果是 d2f(X)+λd2c(X)+2dλdc(X)+d2λc(X),而后面两项均为零(前者是因为 dλ 是与 λ 无关的变量,后者则是因为我们要选取的是切平面上的向量作为方向向量,而切平面上一定有 dC(X)=0),另外这里需要注意例如 d2z=d2x 不是极值点。
  • 对于条件极值问题,我们可以将符合条件的曲面参数化,对问题降维(使用极坐标系,球坐标系,配方法之类技巧)。
  • 问题中可能有隐藏约束条件,求完驻点后需要验证。

隐函数的极值:将 F(x1,x2,,xn,y)=0 微分得到 Fx1dx1+Fx2dx2++Fxndxn+Fydy=0,带入 dy=0 得到驻点满足的条件 Fx1=Fx2==Fxn=F(x1,x2,,xn,y)=0。求出驻点 (x0,y0) 后可使用近似分析法(0=F(x01+v1,x02+v2,,x0n+vn,y0+u)u=+o(||v||k))或微分法(微分得到 i,j2Fxixjdxidxj+2i2Fxiydxidy+2Fy2(dy)2+Fyd2y=0)检查其走势。

曲线 / 曲面积分

Fu=(Fx,Fy,Fz).

dσ=||xudu||||xvdv||sinθ=||xu||2||xv||2xu,xv2dudv.

F=(PQR),rotF=×F=det(ijkxyzPQR).

第一型曲线积分:

  • 弧长:直角坐标系 dx2+dy2+dz2,极坐标系 dr2+(rdθ)2,柱坐标系:dr2+(rdθ)2+dz2

第二型曲线积分:

  • 对于自然正向的简单闭曲线,\oint_\gamma x\mathrm dy=\oint_\gamma -y\mathrm dx=\frac12\oint x\mathrm dy-y\mathrm dx=S,即面积。

Green 公式:

  • \int_\Omega\operatorname{div} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm dl
  • \int_\Omega\operatorname{curl} F\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega}\vec F\cdot \vec x\mathrm dl\vec x 是切向量);
  • \int_\Omega(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y})\mathrm dx\mathrm dy=\oint_{\part\Omega}P\mathrm dx+Q\mathrm dy

第一型曲面积分:

  • z=f(x,y)\iint_{\Omega}\sqrt{1+||\nabla f||^2}\mathrm dx\mathrm dy
  • 参数表示:\iint_{\Omega}f(x(u,v))|(x_u,y_u,z_u)\times(x_v,y_v,z_v)|\mathrm du\mathrm dv

Gauss 公式:

  • \iint_{\part \Omega} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
  • \iint_{\part \Omega} \vec F\cdot \vec n\mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{div} F\mathrm dV
  • \iint_{\part \Omega} \vec F\times \vec n \mathrm d S=\iiint_\Omega\operatorname{rot} F\mathrm dV

Stokes 公式:

  • \iint_{\Omega}\det\pmatrix{\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\part}{\part x}&\frac{\part}{\part y}&\frac{\part}{\part z}\\P&Q&R}\mathrm d\sigma=\oint_{\part\Omega} P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz

带参和式/积分计算

可以考虑对参数积分再求导 / 先求导再积分。

例:\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nnx^{2n-1}}{(2n+1)!}
x 积分得到 \frac12\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}=\frac{(\sin x-x)}{2x}
求导得到原式等于 \frac{x\cos x-\sin x}{2x^2}

一些判定性问题

一致收敛的判定:

  • 一致 Cauchy;
  • Weierstrass 强函数;
  • Dirichlet / Abel。

含参定积分:

  • 连续性:关于参数逐点连续,在给定位置处关于参数连续,且这一连续对 x 一致 / 二元连续 / 关于参数可积且每个参数的偏导有界(中值定理)。
  • 偏导:关于参数的偏导二元连续;
  • 可积性:二元连续。

含参广义积分:

  • 连续性:广义积分一致收敛,且给定位置关于参数的连续性在任何有界闭区间上一致成立(选一个包含给定位置的区间讨论其连续性即可);
  • 可微性:广义积分收敛,关于参数的偏导二元连续,偏导的积分一致收敛;
  • 可积性:广义积分一致收敛;
  • 广义可积性:两个广义积分均一致收敛。

级数的敛散性判定:

  • Cauchy 收敛:考察部分和序列;
  • 收敛的必要条件:趋于零;
  • Weierstrass 强级数;
  • D’Alembert 判别法:令 \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{||a_{n+1}||}{||a_n||}=\rho\rho>1 发散,\rho<1 绝对收敛;
  • Cauchy 根式判别法:\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\rho>1 发散,\rho<1 绝对收敛;
  • 积分判别法:要求恒正且单调递减;
  • Raabe 判别法:令 \lim_{n\rightarrow+\infty}n(\frac{||a_n||}{||a_{n+1}||}-1)=\rho\rho>1 绝对收敛,\rho<1 发散;
  • Leibniz 交错级数判别法:要求绝对值单调递减且趋于零;
  • Dirichlet / Abel:前者部分和序列有界后者单调趋于零 / 前者收敛后者单调有界。

函数项级数:

  • 连续性:要求每一个求和的函数均在给定位置连续;
  • 可积性:要求每一个函数可积;
  • 可微性:要求求导后的函数项级数收敛,且原函数级数在某点收敛;
  • Dirichlet / Abel:前者部分和序列一致有界后者单调趋于零 / 前者一致收敛后者单调一致有界。

幂级数:

  • Cauchy 测试:R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n})^{-1}
  • D’Alembert 测试:R=(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|})^{-1}
  • 收敛区间 / 收敛域:后者需要讨论边界上的敛散性;
  • 幂级数在 B(0,R) 上内闭一致绝对收敛,和函数在 B(0,R) 上连续;
  • 若幂级数在 x_1,x_2 收敛,那么在区间 [x_1,x_2] 收敛;
  • 对于两个收敛半径分别为 r_a,r_b 的幂级数,其和的收敛半径 r\geqslant\min(r_a,r_b),且 r_a\ne r_b 时取等。

Fourier

Bessel 不等式:\frac{A_0^2}{2}+\sum_{n=1}^N(A_n^2+B_n^2)\leqslant\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\mathrm dx(Parseval 等式即取等)。

\langle f,g\rangle=\frac{A_0a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(A_na_n+B_nb_n)

dini 判别法(弱化):周期为 2\pi 的逐段可微函数,在 x_0 处 Fourier 级数收敛于 \frac12(f(x_0-0)+f(x_0+0))

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