速通 微积分 A(1)

给 tzc 磕了。

给 zzh 磕了。

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$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\tan' x=\sec^2 x\\ \sec x=\frac1{\cos x},\sec' x=\sec x\tan x\\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\cot' x=-\csc^2 x\\ \csc x=\frac1{\sin x},\csc'x=-\cot x\csc x\\ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\sinh'x=\cosh x\\ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\cosh'x=\sinh x\\\arcsin'x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\\arccos'x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

$\arctan$ 把 $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ 映射到 $(-\infty,+\infty)$。

$\arcsin,\arccos$ 把 $[-1,1]$ 映射到 $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$。

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Bernoulli 不等式（简化版）：$(1+x)^n\geqslant 1+nx$（要求 $x$ 大于 $-1$），取等当且仅当 $x=0\or n\leqslant 1$.

$e$ 可用 $(1+\frac1n)^n$ 与 $(1+\frac1n)^{n+1}$ 从两侧逼近。

$\gamma$ 可用 $\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln(n+1)$ 与 $\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n$ 从两侧逼近。

若数列收敛于 $A$，其任意子列收敛于 $A$。

收敛数列一定有界，有界数列一定有收敛子列。

单调有界一定收敛。

Stolz 定理：若 $b_n$ 严格单调增且 $b_n\rightarrow+\infty(n\rightarrow\infty)$ 或 $b_n$ 严格单调减且 $a_n,b_n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$，若 $\lim\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$ 那么 $\lim\frac{a_n}{b_n}=A$。

柯西收敛原理：对于 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得 $n,m>N\Rightarrow|x_n-x_m|<\varepsilon$。

例题：
设 $a_n>0$ 满足 $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\in[0,+\infty]$，证明 $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$。
使用两重 eps 控制。
对于所有 $\varepsilon>0$，取 $A-\varepsilon<A_1<A_3<A<A_4<A_2<A+\varepsilon$，我们先尝试用 $A_3,A_4$ 控制 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
由于 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 的极限是 $A$，存在 $N$ 使得所有 $n>N$ 都有 $A_3<\frac{a_{n+1}}{a_n}<A_4$，累乘得 $a_NA_3^{n-N}<a_n<a_NA_4^{n-N}$。
接下来我们尝试用 $A_1^n$ 控制 $a_NA_3^{n-N}$，即证明 $(\frac{A_3}{A_1})^n>\frac{a_3^N}{a_N}$，使用伯努利不等式易证。
使用 $A_2^n$ 控制 $a_NA_4^{n-N}$ 的方法是类似的，$(\frac{A_2}{A_4})^n\geqslant 1+n(\frac{A_2}{A_4}-1)>\frac{a_N}{A_4^N}$，我们所有限制都仅限定了 $n$ 不小于某常数，与“对于所有 $\varepsilon$，可以取到 $lim$ 使得所有 $n>lim$ 满足限制”的叙述相吻合。

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复合函数极限：令 $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{x\rightarrow u_0}f(x)=A$ 且 $x\ne x_0$ 时 $g(x)\ne u_0$，那么 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=A$。

等价无穷小/大使用 $\sim$ 符号。

介值定理。

达布定理：若 $f(x)$ 在 $[A,B]$ 上可导且对于 $[a,b]\subseteq[A,B],f(a)<f(b)$，那么对于任意 $\eta\in(f(a),f(b))$ 都存在 $c\in(a,b)$ 使得 $f(c)=\eta$。

有界闭集套。

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我是经验主义的驴。

反函数求导 $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}$。

隐函数求导 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}$。

除法求导：$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$。

莱布尼茨公式：$(f\cdot g)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$。

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柯西中值定理：$f,g\in C[a,b],D(a,b)$ 且导数非零，那么存在 $\xi\in(a,b)$ 使得：

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

洛的时候记得：可导，$g(x)$ 导数非零，导后极限存在，且是 $\frac00,\frac{\infty}{\infty}$。

皮亚诺余项：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$$

拉格朗日余项（其中 $\xi\in(x,x_0)$）：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

极值点导数为零。

下凸：$f(\lambda x_1+(1-\lambda x_2))\leqslant \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$。

单调性改变导数为零。

凸性改变拐点二阶导为零。

渐近线：水平渐近线上确界下确界，竖直渐近线断点，斜渐近线 $\lim\frac{f(x)}{Ax+B}=0$。

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一致连续：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得距离不超过 $\delta$ 函数值之差不超过 $\varepsilon$。

Lebesgue 定理：以下三个命题等价：①黎曼可积；②有界且达布可积；③有界且间断点零测。

柯西不等式：对于可积函数 $f,g$ 有 $(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx)^2\leqslant\int_a^bf(x)^2\mathrm dx\int_a^bg(x)^2\mathrm dx$。

积分第一中值定理：对于 $f\in C[a,b],g\in R[a,b]$，且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号，那么存在 $\xi\in[a,b]$ 使得 $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm dx$。

积分第二中值定理：对于 $f\in R[a,b]$ 与 $[a,b]$ 上的单调函数 $g$ 存在 $\xi\in[a,b]$ 使得 $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm dx+g(b)\int_\xi^b f(x)\mathrm dx$。

曲线弧长：

$$\int_a^b\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\mathrm dt$$

曲率：

$$\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{((x'(t)^2)+(y'(t))^2)^{\frac32}}$$

曲率半径：曲率的倒数。

曲率圆，曲率中心：我赌不考。

旋转体体积，表面积：

$$V=\int_a^b\pi y^2(t)x'(t)\mathrm dt\\ S=\int_a^b2\pi|y(t)|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\mathrm dt$$

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一些积分（忽略 $+C$）：

有理分式积分需要解决的问题：

$$I_n=\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\mathrm dx\\ I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-\int\frac{-2nx}{(x^2+a^2)^{n+1}}x\mathrm dx=\frac x{(x^2+a^2)^n}+2n(I_n-a^2 I_{n+1})$$

万能代换 $t=\tan\frac x2,\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$。

三角函数积分：

$$\int\sin x\mathrm dx=-\cos x\\ \int\cos x\mathrm dx=\sin x\\ \int\tan x\mathrm dx=-\int\frac{\mathrm d\cos x}{\cos x}=-\ln(|\cos x|)\\ \int\sec x\mathrm dx=\int\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\tan x+\sec x}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d(\tan x+\sec x)}{\tan x+\sec x}=\ln(|\tan x+\sec x|)\\ \int\cot x\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\sin x}{\sin x}=\ln(|\sin x|)\\ \int\csc x\mathrm dx=-\int\frac{-\csc^2 x-\cot x\csc x}{\cot x+\csc x}=-\int\frac{\mathrm d(\cot x+\csc x)}{\cot x+\csc x}=-\ln(|\cot x+\csc x|)$$

三角函数高次积分：

$$\int\sin^nx\mathrm dx=-\int\sin^{n-1}x\mathrm d\cos x=-\sin^{n-1}x\cos x+\int(n-1)\sin^{n-2} x\cos^2 x\mathrm dx\\ =-\sin^{n-1}\cos x+(n-1)\int(\sin^{n-2} x-\sin^n x)\mathrm dx\\ \int\cos^nx\mathrm dx=\int\cos^{n-1}x\mathrm d\sin x=\cos^{n-1}x\sin x+\int(n-1)\cos^{n-2}x\sin^2 x\mathrm dx\\ =\cos^{n-1}\sin x+(n-1)\int(\cos^{n-2}x-\cos^n x)\mathrm dx\\ \int\tan x^n\mathrm dx=\int\tan^{n-2} x(\sec^2 x-1)\mathrm dx=\int\tan^{n-2}x\mathrm d\tan x-\int\tan^{n-2}x\mathrm dx\\=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}x\mathrm dx\\ \int\sec^n x\mathrm dx=\int\sec^{n-2}x\mathrm d\tan x=\sec^{n-2} x\tan x-\int\tan x(n-2)\sec^{n-3}x\sec x\tan x\mathrm dx\\ =\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)(\int\sec^{n-2}x(\sec^2x-1)\mathrm dx)\\ \int\cot^nx\mathrm dx=\int\cot^{n-2}x(\csc^2x-1)\mathrm dx=-\int\cos^{n-2}x\mathrm d\cot x-\int\cot^{n-2}x\mathrm dx\\=-\frac{\cot^{n-1}x}{n-1}-\int\cot^{n-2}x\mathrm dx\\ \int\csc^n\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\cot x}{\sin^{n-2}x}=-\csc^{n-2}x\cot x-\int(n-2)\csc^nx\cos^2x\mathrm dx\\ =-\csc^nx\cot x-(n-2)\int\csc^nx\mathrm dx+(n-2)\int\csc^{n-2}x\mathrm dx$$

其他三角函数积分：

$$\int\frac1{1+\sin x}\mathrm dx=\int\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\mathrm dx=\int(\sec^2 x-\sec x\tan x)\mathrm dx=\tan x-\sec x\\ \int\frac{1}{1+\sin^2 x}\mathrm dx=\int\frac{\csc^2 x}{\csc^2 x+1}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\cot x}{\cot^2 x+2}=-\frac1{\sqrt 2}\arctan(\frac{\cot x}{\sqrt 2})$$

根式：

$$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx=\arcsin\frac xa\\ \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx\overset{x=a\sec t}=\int\frac{a\sec t\tan t\mathrm dt}{a\sqrt{\sec^2 t-1}}=\int\sec t\mathrm dt=\ln(|\tan t+\sec t|)\\ =\ln(|\sqrt{(\frac xa)^2-1}+\frac xa|)=\ln(|\sqrt{x^2-a^2}+x|)+C\\ \int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx\overset{x=a\tan t}=\int\frac{a\sec^2 t\mathrm dt}{a\sqrt{\tan^2 t+1}}=\int\sec t\mathrm dt=\ln(|\tan t+\sec t|)\\ =\ln(|\frac xa+\sqrt{(\frac xa)^2+1}|)=\ln(|\sqrt{x^2+a^2}+x|)+C\\ \int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx\\=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx+a^2\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx=\frac12(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac xa)\\ \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx=x\sqrt{x^2-a^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx\\ =x\sqrt{x^2-a^2}-\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx-a^2\int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx=\frac 12(x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln(|\sqrt{x^2-a^2}+x|))\\ \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx=x\sqrt{x^2+a^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx\\ =x\sqrt{x^2+a^2}-\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx+a^2\int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\frac 12(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln(|\sqrt{x^2+a^2}+x|))$$

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注意不能直接用 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{-t}^tf(x)\mathrm dx$ 来刻画 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx$，例如 $\frac{x}{1+x^2}$ 并不收敛。

判断广义积分是否收敛（以广义积分为例）：

• 柯西收敛原理：对于所有 $\varepsilon>0$ 存在 $M$ 使得 $A_2>A_1>M\Rightarrow(\int_{A_1}^{A_2}f(x)\mathrm dx)<\varepsilon$；
• 比较法：若 $\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx$ 绝对收敛且 $f(x)=O(g(x)),x\rightarrow+\infty$ 那么 $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ 绝对收敛；
• 狄利克雷判别法：若 $F(t)=\int_a^tf(x)\mathrm dx$ 有界，$g(x)$ 单调且趋于零，那么 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛；
• 阿贝尔判别法：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 收敛，$g(x)$ 单调有界，那么 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛；
• 牛顿-莱布尼茨公式的推广：记 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，$\int_a^tf(x)\mathrm dx=\lim_{x\rightarrow t^-}F(x)-F(a)$。

比较法的常用函数：

• $\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\mathrm dx$，其收敛当且仅当 $\lambda>0$，且收敛于 $\frac1\lambda$；
• $\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\mathrm dx$，其收敛当且仅当 $p>1$，且收敛于 $\frac1{p-1}$；
• $\int_0^1\frac1{x^p}\mathrm dx$，其收敛当且仅当 $p<1$，且收敛于 $\frac1{1-p}$。

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微分方程常用技巧：

• 分离变量法：对于 $y'=P(x)Q(y)$，整理得到 $\frac{\mathrm dy}{Q(y)}=P(x)\mathrm dx$，两边积分即可；

  • $y'=P(ax+by+c)$：换元 $u=ax+by+c$，那么 $\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=a+bP(u)$，分离变量即可；

• $\frac yx$ 换元法：对于 $y'=Q(\frac yx)$，换元 $u=\frac yx$，那么 $\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\frac{Q(u)-u}{x}$，分离变量即可；

  • $y'=P(\frac{ax+by+c}{dx+ey+f})$：解 $\begin{cases}ax+by+c=0\\dx+ey+f=0\end{cases}$ 得到解 $x_0,y_0$，换元 $u=x-x_0,v=y-y_0$，那么 $v'=P(\frac{Au+Bv}{Cu+Dv})$，其为关于 $\frac vu$ 的函数，使用上述方法即可；

• 降阶法：

  • 不显含 $y$：只需换元 $u=y'$；
  • 不显含 $x$：令函数 $u(y)=y'$，那么 $y^{(k)}=(u\frac{\mathrm d}{dy})^{k-1}u$；

• 一阶线性常微分方程：$y'=P(x)y+Q(x)$，不妨先令 $Q(x)=0$ 解出通解 $y=Ce^{\int P(t)\mathrm dt}$，接下来令 $C$ 为函数 $C(x)$，代入原式 $(C(x)e^{\int P(t)\mathrm dt})'=P(x)C(x)e^{\int P(t)\mathrm dt}+Q(x)$ 即 $C(x)=\int Q(x)e^{-\int P(t)\mathrm dt}$；

  • 伯努利方程：$y'=P(x)y+Q(x)y^k$，换元 $z=y^{1-k}$ 那么 $u'=(1-k)y^{-k}y'=(1-k)(P(x)u+Q(x))$，使用上述方法解出 $u$ 后再解 $y$ 即可；

• 二阶线性常微分方程：$y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)$，仍然令 $R(x)=0$ 解出通解 $S(x)$，令 $y=C(x)S(x)$，代入原式 $C''(x)S(x)+(2S'(x)+P(x)S(x))C'(x)+(S''(x)+P(x)S'(x)+Q(x)S(x))C(x)=R(x)$，即 $C''(x)S(x)+(2S'(x)+P(x)S(x))C'(x)=R(x)$，该方程可降阶处理；

• 特征方程法：我们可以将算子 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ 作为变量与常数作因式分解尝试凑出原式，接下来从后往前依次解即可，一个经典情况是 $\prod_{i=1}^m(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-p_i)^{k_i}y=0$，通解为 $y=\sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^{k_i-1}C_{i,j}x^je^{p_ix}$，注意复根 $\alpha\pm i\beta$ 对应的 $e^{p_ix}$ 为 $e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x$；

  • 欧拉方程：利用算子 $x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ 进行分解，注意 $x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx})=x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}+x^2\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm dx^2}$。