速通 微积分 A(1)

给 tzc 磕了。

给 zzh 磕了。

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\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\tan' x=\sec^2 x\\ \sec x=\frac1{\cos x},\sec' x=\sec x\tan x\\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\cot' x=-\csc^2 x\\ \csc x=\frac1{\sin x},\csc'x=-\cot x\csc x\\ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\sinh'x=\cosh x\\ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\cosh'x=\sinh x\\\arcsin'x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\\arccos'x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\]

\(\arctan\) 把 \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\) 映射到 \((-\infty,+\infty)\)。

\(\arcsin,\arccos\) 把 \([-1,1]\) 映射到 \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\)。

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Bernoulli 不等式（简化版）：\((1+x)^n\geqslant 1+nx\)（要求 \(x\) 大于 \(-1\)），取等当且仅当 \(x=0\or n\leqslant 1\).

\(e\) 可用 \((1+\frac1n)^n\) 与 \((1+\frac1n)^{n+1}\) 从两侧逼近。

\(\gamma\) 可用 \(\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln(n+1)\) 与 \(\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n\) 从两侧逼近。

若数列收敛于 \(A\)，其任意子列收敛于 \(A\)。

收敛数列一定有界，有界数列一定有收敛子列。

单调有界一定收敛。

Stolz 定理：若 \(b_n\) 严格单调增且 \(b_n\rightarrow+\infty(n\rightarrow\infty)\) 或 \(b_n\) 严格单调减且 \(a_n,b_n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)\)，若 \(\lim\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A\) 那么 \(\lim\frac{a_n}{b_n}=A\)。

柯西收敛原理：对于 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\) 使得 \(n,m>N\Rightarrow|x_n-x_m|<\varepsilon\)。

例题：
设 \(a_n>0\) 满足 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\in[0,+\infty]\)，证明 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{a_n}=A\)。
使用两重 eps 控制。
对于所有 \(\varepsilon>0\)，取 \(A-\varepsilon<A_1<A_3<A<A_4<A_2<A+\varepsilon\)，我们先尝试用 \(A_3,A_4\) 控制 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)。
由于 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) 的极限是 \(A\)，存在 \(N\) 使得所有 \(n>N\) 都有 \(A_3<\frac{a_{n+1}}{a_n}<A_4\)，累乘得 \(a_NA_3^{n-N}<a_n<a_NA_4^{n-N}\)。
接下来我们尝试用 \(A_1^n\) 控制 \(a_NA_3^{n-N}\)，即证明 \((\frac{A_3}{A_1})^n>\frac{a_3^N}{a_N}\)，使用伯努利不等式易证。
使用 \(A_2^n\) 控制 \(a_NA_4^{n-N}\) 的方法是类似的，\((\frac{A_2}{A_4})^n\geqslant 1+n(\frac{A_2}{A_4}-1)>\frac{a_N}{A_4^N}\)，我们所有限制都仅限定了 \(n\) 不小于某常数，与“对于所有 \(\varepsilon\)，可以取到 \(lim\) 使得所有 \(n>lim\) 满足限制”的叙述相吻合。

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复合函数极限：令 \(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{x\rightarrow u_0}f(x)=A\) 且 \(x\ne x_0\) 时 \(g(x)\ne u_0\)，那么 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=A\)。

等价无穷小/大使用 \(\sim\) 符号。

介值定理。

达布定理：若 \(f(x)\) 在 \([A,B]\) 上可导且对于 \([a,b]\subseteq[A,B],f(a)<f(b)\)，那么对于任意 \(\eta\in(f(a),f(b))\) 都存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f(c)=\eta\)。

有界闭集套。

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我是经验主义的驴。

反函数求导 \(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}\)。

隐函数求导 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}\)。

除法求导：\((\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)。

莱布尼茨公式：\((f\cdot g)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)\)。

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柯西中值定理：\(f,g\in C[a,b],D(a,b)\) 且导数非零，那么存在 \(\xi\in(a,b)\) 使得：

\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

洛的时候记得：可导，\(g(x)\) 导数非零，导后极限存在，且是 \(\frac00,\frac{\infty}{\infty}\)。

皮亚诺余项：

\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) \]

拉格朗日余项（其中 \(\xi\in(x,x_0)\)）：

\[f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

极值点导数为零。

下凸：\(f(\lambda x_1+(1-\lambda x_2))\leqslant \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)。

单调性改变导数为零。

凸性改变拐点二阶导为零。

渐近线：水平渐近线上确界下确界，竖直渐近线断点，斜渐近线 \(\lim\frac{f(x)}{Ax+B}=0\)。

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一致连续：对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得距离不超过 \(\delta\) 函数值之差不超过 \(\varepsilon\)。

Lebesgue 定理：以下三个命题等价：①黎曼可积；②有界且达布可积；③有界且间断点零测。

柯西不等式：对于可积函数 \(f,g\) 有 \((\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx)^2\leqslant\int_a^bf(x)^2\mathrm dx\int_a^bg(x)^2\mathrm dx\)。

积分第一中值定理：对于 \(f\in C[a,b],g\in R[a,b]\)，且 \(g\) 在 \([a,b]\) 上不变号，那么存在 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm dx\)。

积分第二中值定理：对于 \(f\in R[a,b]\) 与 \([a,b]\) 上的单调函数 \(g\) 存在 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm dx+g(b)\int_\xi^b f(x)\mathrm dx\)。

曲线弧长：

\[\int_a^b\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\mathrm dt \]

曲率：

\[\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{((x'(t)^2)+(y'(t))^2)^{\frac32}} \]

曲率半径：曲率的倒数。

曲率圆，曲率中心：我赌不考。

旋转体体积，表面积：

\[V=\int_a^b\pi y^2(t)x'(t)\mathrm dt\\ S=\int_a^b2\pi|y(t)|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\mathrm dt\]

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一些积分（忽略 \(+C\)）：

有理分式积分需要解决的问题：

\[I_n=\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\mathrm dx\\ I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-\int\frac{-2nx}{(x^2+a^2)^{n+1}}x\mathrm dx=\frac x{(x^2+a^2)^n}+2n(I_n-a^2 I_{n+1})\]

万能代换 \(t=\tan\frac x2,\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)。

三角函数积分：

\[\int\sin x\mathrm dx=-\cos x\\ \int\cos x\mathrm dx=\sin x\\ \int\tan x\mathrm dx=-\int\frac{\mathrm d\cos x}{\cos x}=-\ln(|\cos x|)\\ \int\sec x\mathrm dx=\int\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\tan x+\sec x}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d(\tan x+\sec x)}{\tan x+\sec x}=\ln(|\tan x+\sec x|)\\ \int\cot x\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\sin x}{\sin x}=\ln(|\sin x|)\\ \int\csc x\mathrm dx=-\int\frac{-\csc^2 x-\cot x\csc x}{\cot x+\csc x}=-\int\frac{\mathrm d(\cot x+\csc x)}{\cot x+\csc x}=-\ln(|\cot x+\csc x|)\]

三角函数高次积分：

\[\int\sin^nx\mathrm dx=-\int\sin^{n-1}x\mathrm d\cos x=-\sin^{n-1}x\cos x+\int(n-1)\sin^{n-2} x\cos^2 x\mathrm dx\\ =-\sin^{n-1}\cos x+(n-1)\int(\sin^{n-2} x-\sin^n x)\mathrm dx\\ \int\cos^nx\mathrm dx=\int\cos^{n-1}x\mathrm d\sin x=\cos^{n-1}x\sin x+\int(n-1)\cos^{n-2}x\sin^2 x\mathrm dx\\ =\cos^{n-1}\sin x+(n-1)\int(\cos^{n-2}x-\cos^n x)\mathrm dx\\ \int\tan x^n\mathrm dx=\int\tan^{n-2} x(\sec^2 x-1)\mathrm dx=\int\tan^{n-2}x\mathrm d\tan x-\int\tan^{n-2}x\mathrm dx\\=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}x\mathrm dx\\ \int\sec^n x\mathrm dx=\int\sec^{n-2}x\mathrm d\tan x=\sec^{n-2} x\tan x-\int\tan x(n-2)\sec^{n-3}x\sec x\tan x\mathrm dx\\ =\sec^{n-2}x\tan x-(n-2)(\int\sec^{n-2}x(\sec^2x-1)\mathrm dx)\\ \int\cot^nx\mathrm dx=\int\cot^{n-2}x(\csc^2x-1)\mathrm dx=-\int\cos^{n-2}x\mathrm d\cot x-\int\cot^{n-2}x\mathrm dx\\=-\frac{\cot^{n-1}x}{n-1}-\int\cot^{n-2}x\mathrm dx\\ \int\csc^n\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\cot x}{\sin^{n-2}x}=-\csc^{n-2}x\cot x-\int(n-2)\csc^nx\cos^2x\mathrm dx\\ =-\csc^nx\cot x-(n-2)\int\csc^nx\mathrm dx+(n-2)\int\csc^{n-2}x\mathrm dx\]

其他三角函数积分：

\[\int\frac1{1+\sin x}\mathrm dx=\int\frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}\mathrm dx=\int(\sec^2 x-\sec x\tan x)\mathrm dx=\tan x-\sec x\\ \int\frac{1}{1+\sin^2 x}\mathrm dx=\int\frac{\csc^2 x}{\csc^2 x+1}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\cot x}{\cot^2 x+2}=-\frac1{\sqrt 2}\arctan(\frac{\cot x}{\sqrt 2})\]

根式：

\[\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx=\arcsin\frac xa\\ \int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx\overset{x=a\sec t}=\int\frac{a\sec t\tan t\mathrm dt}{a\sqrt{\sec^2 t-1}}=\int\sec t\mathrm dt=\ln(|\tan t+\sec t|)\\ =\ln(|\sqrt{(\frac xa)^2-1}+\frac xa|)=\ln(|\sqrt{x^2-a^2}+x|)+C\\ \int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx\overset{x=a\tan t}=\int\frac{a\sec^2 t\mathrm dt}{a\sqrt{\tan^2 t+1}}=\int\sec t\mathrm dt=\ln(|\tan t+\sec t|)\\ =\ln(|\frac xa+\sqrt{(\frac xa)^2+1}|)=\ln(|\sqrt{x^2+a^2}+x|)+C\\ \int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx\\=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx+a^2\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm dx=\frac12(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac xa)\\ \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx=x\sqrt{x^2-a^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx\\ =x\sqrt{x^2-a^2}-\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx-a^2\int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm dx=\frac 12(x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln(|\sqrt{x^2-a^2}+x|))\\ \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx=x\sqrt{x^2+a^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx\\ =x\sqrt{x^2+a^2}-\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx+a^2\int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\frac 12(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln(|\sqrt{x^2+a^2}+x|))\]

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注意不能直接用 \(\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_{-t}^tf(x)\mathrm dx\) 来刻画 \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx\)，例如 \(\frac{x}{1+x^2}\) 并不收敛。

判断广义积分是否收敛（以广义积分为例）：

• 柯西收敛原理：对于所有 \(\varepsilon>0\) 存在 \(M\) 使得 \(A_2>A_1>M\Rightarrow(\int_{A_1}^{A_2}f(x)\mathrm dx)<\varepsilon\)；
• 比较法：若 \(\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx\) 绝对收敛且 \(f(x)=O(g(x)),x\rightarrow+\infty\) 那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 绝对收敛；
• 狄利克雷判别法：若 \(F(t)=\int_a^tf(x)\mathrm dx\) 有界，\(g(x)\) 单调且趋于零，那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛；
• 阿贝尔判别法：若 \(\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx\) 收敛，\(g(x)\) 单调有界，那么 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛；
• 牛顿-莱布尼茨公式的推广：记 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数，\(\int_a^tf(x)\mathrm dx=\lim_{x\rightarrow t^-}F(x)-F(a)\)。

比较法的常用函数：

• \(\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\mathrm dx\)，其收敛当且仅当 \(\lambda>0\)，且收敛于 \(\frac1\lambda\)；
• \(\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\mathrm dx\)，其收敛当且仅当 \(p>1\)，且收敛于 \(\frac1{p-1}\)；
• \(\int_0^1\frac1{x^p}\mathrm dx\)，其收敛当且仅当 \(p<1\)，且收敛于 \(\frac1{1-p}\)。

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微分方程常用技巧：

• 分离变量法：对于 \(y'=P(x)Q(y)\)，整理得到 \(\frac{\mathrm dy}{Q(y)}=P(x)\mathrm dx\)，两边积分即可；

  • \(y'=P(ax+by+c)\)：换元 \(u=ax+by+c\)，那么 \(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=a+bP(u)\)，分离变量即可；

• \(\frac yx\) 换元法：对于 \(y'=Q(\frac yx)\)，换元 \(u=\frac yx\)，那么 \(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\frac{Q(u)-u}{x}\)，分离变量即可；

  • \(y'=P(\frac{ax+by+c}{dx+ey+f})\)：解 \(\begin{cases}ax+by+c=0\\dx+ey+f=0\end{cases}\) 得到解 \(x_0,y_0\)，换元 \(u=x-x_0,v=y-y_0\)，那么 \(v'=P(\frac{Au+Bv}{Cu+Dv})\)，其为关于 \(\frac vu\) 的函数，使用上述方法即可；

• 降阶法：

  • 不显含 \(y\)：只需换元 \(u=y'\)；
  • 不显含 \(x\)：令函数 \(u(y)=y'\)，那么 \(y^{(k)}=(u\frac{\mathrm d}{dy})^{k-1}u\)；

• 一阶线性常微分方程：\(y'=P(x)y+Q(x)\)，不妨先令 \(Q(x)=0\) 解出通解 \(y=Ce^{\int P(t)\mathrm dt}\)，接下来令 \(C\) 为函数 \(C(x)\)，代入原式 \((C(x)e^{\int P(t)\mathrm dt})'=P(x)C(x)e^{\int P(t)\mathrm dt}+Q(x)\) 即 \(C(x)=\int Q(x)e^{-\int P(t)\mathrm dt}\)；

  • 伯努利方程：\(y'=P(x)y+Q(x)y^k\)，换元 \(z=y^{1-k}\) 那么 \(u'=(1-k)y^{-k}y'=(1-k)(P(x)u+Q(x))\)，使用上述方法解出 \(u\) 后再解 \(y\) 即可；

• 二阶线性常微分方程：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)\)，仍然令 \(R(x)=0\) 解出通解 \(S(x)\)，令 \(y=C(x)S(x)\)，代入原式 \(C''(x)S(x)+(2S'(x)+P(x)S(x))C'(x)+(S''(x)+P(x)S'(x)+Q(x)S(x))C(x)=R(x)\)，即 \(C''(x)S(x)+(2S'(x)+P(x)S(x))C'(x)=R(x)\)，该方程可降阶处理；

• 特征方程法：我们可以将算子 \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\) 作为变量与常数作因式分解尝试凑出原式，接下来从后往前依次解即可，一个经典情况是 \(\prod_{i=1}^m(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-p_i)^{k_i}y=0\)，通解为 \(y=\sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^{k_i-1}C_{i,j}x^je^{p_ix}\)，注意复根 \(\alpha\pm i\beta\) 对应的 \(e^{p_ix}\) 为 \(e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x\)；

  • 欧拉方程：利用算子 \(x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\) 进行分解，注意 \(x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx})=x\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}+x^2\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm dx^2}\)。