速通 离散数学(1)

微积分学不下去了。

命题逻辑

悖论不是命题。

合式公式要求长度有限。

波兰式：前序遍历；逆波兰式：后序遍历。

等值定理：枚举真值表，全相同则相同。

常见等值公式（背名字）：

• 双重否定律：$\neg\neg P=P$；
• 结合律/交换律：$\and,\or,\leftrightarrow$ 有结合律，但是 $\rightarrow$ 没有；
• 分配律：$\and,\or$ 互相可分配，$\rightarrow$ 与自身可分配（$P\rightarrow(Q\rightarrow R)=(P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)$）；
• 等幂律：$P$ 与 $P$ 的式子；
• 吸收律：$P\or(P\and Q)=P,P\and(P\or Q)=P$；
• 摩根律：$\neg$ 对 $\and,\or$ 的分配律，以及 $\neg(P\rightarrow Q)=P\and\neg Q$ 与 $\neg(P\leftrightarrow Q)=\neg P\leftrightarrow Q$；
• 同一律：$P$ 与 $T,F$ 运算得到 $P,\neg P$ 的式子；
• 零律：$P$ 与 $T,F$ 运算得到 $T,F$ 的式子
• 补余律：$P$ 与 $\neg P$ 的式子；
• 蕴含等值式：$A\rightarrow B=\neg A\or B$；
• 假言易位：$A\rightarrow B=\neg B\rightarrow\neg A$；
• 等价否定等值式：$A\leftrightarrow B=\neg A\leftrightarrow \neg B$；
• 归谬论：$(A\rightarrow B)\and(A\rightarrow \neg B)=\neg A$。

记 $A^*$ 为代换 $\{\and,\or,T,F\}\rightarrow\{\or,\and,F,T\}$ 得到的公式，称其为对偶式。另记 $A^-$ 为将每个命题变元 $P$ 替换为 $\neg P$ 得到的公式，我们有 $A^-$ 与 $A$ 同永真/可满足，$A^*$ 与 $\neg A$ 同永真/可满足。

永真式的主合取范式，矛盾式的主析取范式为空公式。

全称量词对蕴含，存在量词对合取。

使用多个存在量词时需检查是否限制相同元素。

合取式：仅含合取；析取式：仅含析取。极小项：合取式，$P$ 与 $\neg P$ 出现恰好一次；极大项：析取式，$P$ 与 $\neg P$ 出现恰好一次。极小项的顺序：按照字典序编号 $m_0,m_1,\cdots,m_{2^n}$；极大项的顺序：按照字典序 $M_{2^n-1},\cdots,M_1,M_0$。

析取范式：外层析取内层合取；合取范式：外层合取内层析取。主析取范式：要求内层为极小项；主合取范式：要求内层为极大项。主析取范式可写作 $\or_S$，其中 $S$ 为极小项集合；主合取范式可写作 $\and_S$，其中 $S$ 为极大项集合。

常见推理公式：

• $P\and Q\Rightarrow P$；
• $\neg(P\rightarrow Q)\Rightarrow P$；
• $\neg(P\rightarrow Q)\Rightarrow \neg Q$；
• $P\Rightarrow P\and Q$；
• $\neg P\Rightarrow P\rightarrow Q$；
• $Q\Rightarrow P\rightarrow Q$；
• $\neg P\and(P\or Q)\Rightarrow Q$；
• $P\and(P\rightarrow Q)\Rightarrow Q$（假言推理）；
• $\neg Q\and(P\rightarrow Q)\Rightarrow\neg P$；
• $(P\rightarrow Q)\and(Q\rightarrow R)\Rightarrow P\rightarrow R$（三段论）；
• $(P\leftrightarrow Q)\and(Q\leftrightarrow R)\Rightarrow(P\leftrightarrow R)$；
• $(P\rightarrow R)\and(Q\rightarrow R)\and(P\or Q)\Rightarrow R$；
• $(P\rightarrow Q)\and(R\rightarrow S)\and(P\or R)\Rightarrow(Q\or S)$；
• $(P\rightarrow Q)\and(R\rightarrow S)\and(\neg Q\or\neg S)\Rightarrow\neg P\or\neg R$；
• $(Q\rightarrow R)\Rightarrow((P\or Q)\rightarrow(P\or R))$；
• $(Q\rightarrow R)\Rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R))$。

推理演算：前提引入，代换，置换（利用等值公式），分离（$A,A\rightarrow B\Rightarrow B$），条件证明（利用 $A_1\and A_2\rightarrow B$ 证明 $A_1\Rightarrow A_2\rightarrow B$）。

归结推理：尝试证明目标式为矛盾式。不妨假设目标式成立，并建立目前已成立的子句集 $S$。每次在 $S$ 中选取两子句进行归结（消去互补对），将结果加入 $S$ 中，不断重复直到得到空子句 $\Box$。

罗素公理系统。

合式公式：仅包含 $\or,\neg$。

公理：

• $\vdash ((P\or P)\rightarrow P)$；
• $\vdash(P\rightarrow(P\or Q))$；
• $\vdash((P\or Q)\rightarrow (Q\or P))$；
• $\vdash((Q\rightarrow R)\rightarrow((P\or Q)\rightarrow(P\or R)))$。

变形规则：代入规则，分离规则（$\vdash A,\vdash A\rightarrow B$ 推出 $\vdash B$），置换规则（使用公理）。

王浩算法：一条公理（两端有公共命题变项即成立），十条变形规则。

自然演绎系统：零条公理，五条变形规则。

SKOLEM 标准型在不可满足意义上与原公式等价，前束范式与原公式等价。

谓词逻辑

谓词常项：有含义；谓词变项：没有含义，符号化的某一函数。

量词：$\forall,\exists$。

求前束范式的方法：消去 $\rightarrow,\leftrightarrow$，$\neg$ 内移，量词左移，变元易名。

SKOLEM 标准型：消去所有 $\exists$ 量词，将其写作其左侧 $\forall$ 内容的函数，若左侧没有则写作常量 $a,b,c$。

等值式：怎么这么多，不想抄。

基本推理公式：

• 析取附加式：$P\Rightarrow P\or Q$；
• 合取化简式：$P\and Q\Rightarrow P$；
• 并发式：$P,Q\Rightarrow P\and Q$；
• 分离式：$P,P\rightarrow Q\Rightarrow Q$；
• 拒取式：$\neg Q,P\rightarrow Q\Rightarrow P$；
• 析取三段式：$\neg P,P\and Q\Rightarrow Q$；
• 假言三段式：$P\rightarrow Q,Q\rightarrow R\Rightarrow P\rightarrow R$。

谓词推理规则：

• 全称举例（UI）：$(\forall x)P(x)\Rightarrow P(y)$，任意 $y$；
• 全称推广（UG）：对于任意 $y$ 有 $P(y)$ 推出 $(\forall x)P(x)$；
• 存在举例（EI）：$(\forall x)P(x)\Rightarrow P(y)$，某个 $y$；
• 存在推广（EG）：对于某个 $y$ 有 $P(y)$ 推出 $(\exists x)P(x)$。

谓词的归结推理：尝试证明目标式为矛盾式，将其化为 SKOLEM 标准型并消去全称量词，接下来重复归结推理的流程。

集合

$A$ 与 $B$ 的笛卡尔积是 $\{\langle a,b\rangle\mid a\in A,b\in B \}$，类似地定义 $n$ 阶笛卡尔积是 $n$ 元组。

若 $A$ 任意元素的元素都在 $A$ 中则称 $A$ 是传递集合。

自然数的集合表示：$0=\varnothing,1=\{\varnothing\},2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$……若记 $A^+=A\cup \{A\}$，那么 $n+1=n^+$。

$\aleph_{k+1}=2^{\aleph_k}$。

可数个可数集的并集是可数集。

对于无限基数 $k$ 有 $k^k=2^k$。

ZF 集合论系统：

• 外延公理；
• 空集存在公理；
• 无序对集合存在公理；
• 并集公理；
• 子集公理模式：使用某一谓词公式提取子集；
• 幂集公理；
• 正则公理：存在自身的某一元素与自身不交；
• 无穷公理；
• 替换公理模式：给定二元谓词公式 $P(x,y)$，且 $P$ 描述匹配关系，我们能从集合 $S$ 构造出匹配的集合 $T$；
• 选择公理：对于所有关系 $R$，存在关系 $F\subseteq R$ 且两者定义域相等。

万有集不存在定理。

良序集一定是全序集。

关系

$f\circ g$ 是 $g$ 矩阵乘法 $f$。

自反，非自反（无自环），对称，反对称（无二元环），传递。

自反闭包记作 $r(R)$，对称闭包记作 $s(R)$，传递闭包记作 $t(R)$。

商集：$A/R=\{[x]_R\mid x\in A\}$。

相容关系：自反，对称（最大相容类：最大团）。

完全覆盖：最大相容类的集合一定是 $A$ 的覆盖，被称为完全覆盖，其是唯一的。

偏序关系：自反，反对称，传递（全序关系：任意 $x,y$ 都可比）。

拟序/强偏序关系：非自反，传递。

哈斯图从下到上画。

warshall 算法：floyd 改成 01 版本，求传递闭包。

函数

域：定义域并上值域。

可以写成二元组集合。

$A_B$ 表示从 $A$ 到 $B$ 的函数。

相容：两个函数相同定义域值相同则相容。

函数的左逆不一定唯一，考虑 $f$ 不会映射到的位置，左逆上的函数值可以任意钦定。右逆同理，$f$ 函数值相同的位置，右逆可以任意选择一个作为函数值（Week14 Page 95 96）。