速通 离散数学(1)
微积分学不下去了。
命题逻辑
悖论不是命题。
合式公式要求长度有限。
波兰式：前序遍历；逆波兰式：后序遍历。
等值定理：枚举真值表，全相同则相同。
常见等值公式（背名字）：
- 双重否定律：\(\neg\neg P=P\)；
- 结合律/交换律：\(\and,\or,\leftrightarrow\) 有结合律，但是 \(\rightarrow\) 没有；
- 分配律：\(\and,\or\) 互相可分配，\(\rightarrow\) 与自身可分配（\(P\rightarrow(Q\rightarrow R)=(P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)\)）；
- 等幂律：\(P\) 与 \(P\) 的式子；
- 吸收律：\(P\or(P\and Q)=P,P\and(P\or Q)=P\)；
- 摩根律：\(\neg\) 对 \(\and,\or\) 的分配律，以及 \(\neg(P\rightarrow Q)=P\and\neg Q\) 与 \(\neg(P\leftrightarrow Q)=\neg P\leftrightarrow Q\)；
- 同一律：\(P\) 与 \(T,F\) 运算得到 \(P,\neg P\) 的式子；
- 零律：\(P\) 与 \(T,F\) 运算得到 \(T,F\) 的式子
- 补余律：\(P\) 与 \(\neg P\) 的式子；
- 蕴含等值式：\(A\rightarrow B=\neg A\or B\)；
- 假言易位：\(A\rightarrow B=\neg B\rightarrow\neg A\)；
- 等价否定等值式：\(A\leftrightarrow B=\neg A\leftrightarrow \neg B\)；
- 归谬论：\((A\rightarrow B)\and(A\rightarrow \neg B)=\neg A\)。
记 \(A^*\) 为代换 \(\{\and,\or,T,F\}\rightarrow\{\or,\and,F,T\}\) 得到的公式，称其为对偶式。另记 \(A^-\) 为将每个命题变元 \(P\) 替换为 \(\neg P\) 得到的公式，我们有 \(A^-\) 与 \(A\) 同永真/可满足，\(A^*\) 与 \(\neg A\) 同永真/可满足。
永真式的主合取范式，矛盾式的主析取范式为空公式。
全称量词对蕴含，存在量词对合取。
使用多个存在量词时需检查是否限制相同元素。
合取式：仅含合取；析取式：仅含析取。极小项：合取式，\(P\) 与 \(\neg P\) 出现恰好一次；极大项：析取式，\(P\) 与 \(\neg P\) 出现恰好一次。极小项的顺序：按照字典序编号 \(m_0,m_1,\cdots,m_{2^n}\)；极大项的顺序：按照字典序 \(M_{2^n-1},\cdots,M_1,M_0\)。
析取范式：外层析取内层合取；合取范式：外层合取内层析取。主析取范式：要求内层为极小项；主合取范式：要求内层为极大项。主析取范式可写作 \(\or_S\)，其中 \(S\) 为极小项集合；主合取范式可写作 \(\and_S\)，其中 \(S\) 为极大项集合。
常见推理公式：
- \(P\and Q\Rightarrow P\)；
- \(\neg(P\rightarrow Q)\Rightarrow P\)；
- \(\neg(P\rightarrow Q)\Rightarrow \neg Q\)；
- \(P\Rightarrow P\and Q\)；
- \(\neg P\Rightarrow P\rightarrow Q\)；
- \(Q\Rightarrow P\rightarrow Q\)；
- \(\neg P\and(P\or Q)\Rightarrow Q\)；
- \(P\and(P\rightarrow Q)\Rightarrow Q\)（假言推理）；
- \(\neg Q\and(P\rightarrow Q)\Rightarrow\neg P\)；
- \((P\rightarrow Q)\and(Q\rightarrow R)\Rightarrow P\rightarrow R\)（三段论）；
- \((P\leftrightarrow Q)\and(Q\leftrightarrow R)\Rightarrow(P\leftrightarrow R)\)；
- \((P\rightarrow R)\and(Q\rightarrow R)\and(P\or Q)\Rightarrow R\)；
- \((P\rightarrow Q)\and(R\rightarrow S)\and(P\or R)\Rightarrow(Q\or S)\)；
- \((P\rightarrow Q)\and(R\rightarrow S)\and(\neg Q\or\neg S)\Rightarrow\neg P\or\neg R\)；
- \((Q\rightarrow R)\Rightarrow((P\or Q)\rightarrow(P\or R))\)；
- \((Q\rightarrow R)\Rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R))\)。
推理演算：前提引入，代换，置换（利用等值公式），分离（\(A,A\rightarrow B\Rightarrow B\)），条件证明（利用 \(A_1\and A_2\rightarrow B\) 证明 \(A_1\Rightarrow A_2\rightarrow B\)）。
归结推理：尝试证明目标式为矛盾式。不妨假设目标式成立，并建立目前已成立的子句集 \(S\)。每次在 \(S\) 中选取两子句进行归结（消去互补对），将结果加入 \(S\) 中，不断重复直到得到空子句 \(\Box\)。
罗素公理系统。
合式公式：仅包含 \(\or,\neg\)。
公理：
- \(\vdash ((P\or P)\rightarrow P)\)；
- \(\vdash(P\rightarrow(P\or Q))\)；
- \(\vdash((P\or Q)\rightarrow (Q\or P))\)；
- \(\vdash((Q\rightarrow R)\rightarrow((P\or Q)\rightarrow(P\or R)))\)。
变形规则：代入规则，分离规则（\(\vdash A,\vdash A\rightarrow B\) 推出 \(\vdash B\)），置换规则（使用公理）。
王浩算法：一条公理（两端有公共命题变项即成立），十条变形规则。
自然演绎系统：零条公理，五条变形规则。
SKOLEM 标准型在不可满足意义上与原公式等价，前束范式与原公式等价。
谓词逻辑
谓词常项：有含义；谓词变项：没有含义，符号化的某一函数。
量词：\(\forall,\exists\)。
求前束范式的方法：消去 \(\rightarrow,\leftrightarrow\)，\(\neg\) 内移，量词左移，变元易名。
SKOLEM 标准型：消去所有 \(\exists\) 量词，将其写作其左侧 \(\forall\) 内容的函数，若左侧没有则写作常量 \(a,b,c\)。
等值式：怎么这么多，不想抄。
基本推理公式：
- 析取附加式：\(P\Rightarrow P\or Q\)；
- 合取化简式：\(P\and Q\Rightarrow P\)；
- 并发式：\(P,Q\Rightarrow P\and Q\)；
- 分离式：\(P,P\rightarrow Q\Rightarrow Q\)；
- 拒取式：\(\neg Q,P\rightarrow Q\Rightarrow P\)；
- 析取三段式：\(\neg P,P\and Q\Rightarrow Q\)；
- 假言三段式：\(P\rightarrow Q,Q\rightarrow R\Rightarrow P\rightarrow R\)。
谓词推理规则：
- 全称举例（UI）：\((\forall x)P(x)\Rightarrow P(y)\)，任意 \(y\)；
- 全称推广（UG）：对于任意 \(y\) 有 \(P(y)\) 推出 \((\forall x)P(x)\)；
- 存在举例（EI）：\((\forall x)P(x)\Rightarrow P(y)\)，某个 \(y\)；
- 存在推广（EG）：对于某个 \(y\) 有 \(P(y)\) 推出 \((\exists x)P(x)\)。
谓词的归结推理：尝试证明目标式为矛盾式，将其化为 SKOLEM 标准型并消去全称量词，接下来重复归结推理的流程。
集合
\(A\) 与 \(B\) 的笛卡尔积是 \(\{\langle a,b\rangle\mid a\in A,b\in B \}\)，类似地定义 \(n\) 阶笛卡尔积是 \(n\) 元组。
若 \(A\) 任意元素的元素都在 \(A\) 中则称 \(A\) 是传递集合。
自然数的集合表示：\(0=\varnothing,1=\{\varnothing\},2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\)……若记 \(A^+=A\cup \{A\}\)，那么 \(n+1=n^+\)。
\(\aleph_{k+1}=2^{\aleph_k}\)。
可数个可数集的并集是可数集。
对于无限基数 \(k\) 有 \(k^k=2^k\)。
ZF 集合论系统：
- 外延公理；
- 空集存在公理；
- 无序对集合存在公理；
- 并集公理；
- 子集公理模式：使用某一谓词公式提取子集；
- 幂集公理；
- 正则公理：存在自身的某一元素与自身不交；
- 无穷公理；
- 替换公理模式：给定二元谓词公式 \(P(x,y)\)，且 \(P\) 描述匹配关系，我们能从集合 \(S\) 构造出匹配的集合 \(T\)；
- 选择公理：对于所有关系 \(R\)，存在关系 \(F\subseteq R\) 且两者定义域相等。
万有集不存在定理。
良序集一定是全序集。
关系
\(f\circ g\) 是 \(g\) 矩阵乘法 \(f\)。
自反，非自反（无自环），对称，反对称（无二元环），传递。
自反闭包记作 \(r(R)\)，对称闭包记作 \(s(R)\)，传递闭包记作 \(t(R)\)。
商集：\(A/R=\{[x]_R\mid x\in A\}\)。
相容关系：自反，对称（最大相容类：最大团）。
完全覆盖：最大相容类的集合一定是 \(A\) 的覆盖，被称为完全覆盖，其是唯一的。
偏序关系：自反，反对称，传递（全序关系：任意 \(x,y\) 都可比）。
拟序/强偏序关系：非自反，传递。
哈斯图从下到上画。
warshall 算法：floyd 改成 01 版本，求传递闭包。
函数
域：定义域并上值域。
可以写成二元组集合。
\(A_B\) 表示从 \(A\) 到 \(B\) 的函数。
相容：两个函数相同定义域值相同则相容。
函数的左逆不一定唯一，考虑 \(f\) 不会映射到的位置，左逆上的函数值可以任意钦定。右逆同理，\(f\) 函数值相同的位置，右逆可以任意选择一个作为函数值（Week14 Page 95 96）。
