2023-10-15 #73 就等待吧

——COP《雪来临时》

如题，所以抱歉这次鸽了。

511 P8354 [SDOI/SXOI2022] 多边形

三角剖分是我们已解决的经典问题，答案是卡特兰数。我们尝试通过一些手段去除题目中的限制，求出系数 $c_3,c_4,\cdots,c_m$，将问题规约至求若干次多边形的三角剖分数量，最后答案为 $\sum_i c_i\text{Catalan}(i-2)$。

尝试容斥“不能连同一条边上的点”这一限制，假设一条边严格内部有 $c$ 个点，那么其会贡献：

$$\sum_{k=0}^cx^k\sum_i{c\choose k+i}{k+1\choose i}$$

咕咕咕

512 CF1874F Jellyfish and OEIS

容斥一些区间钦定它们符合条件，一个经典的想法是考察这些区间的结构。可以发现若存在相交的区间 $[a,b],[c,d]$ 满足 $a<c\leqslant b<d$，我们可以考察字典序最小的一组，那么有 $[c,b]$ 与没有 $[c,b]$ 的情况有双射，且系数恰好差 $-1$ 倍。

转化为没有相交区间的容斥就好做了，采用区间 dp 合并树形结构，相当于要在一个大区间内钦定若干不交的小区间，剩下的位置随便乱放，于是记 $f_{i,j}$ 表示这段区间的答案，$g_{i,j,k}$ 表示考虑了区间 $[i,j]$，有 $k$ 个位置没有被覆盖的系数和，朴素转移即可 $O(n^4)$。

513 nowcoder65192D 虚树

最优策略一定是取直径端点为根，长链剖分保留前 $k$ 长链。正确性基于选 $k$ 个点的最大虚树有类似直径的可合并性质（还不会证，有人教我吗！）。

尝试使用 ST 表做区间询问，但是预处理复杂度太高。我们将序列对 $k$ 分块，散块暴力加入，整块做 st 表，这样复杂度就是 $O(n\log n\log k+qk\log k)$。

514 QOJ61 Cut Cut Cut!

还不会证。