2023-10-15 #73 就等待吧

——COP《雪来临时》

如题，所以抱歉这次鸽了。

511 P8354 [SDOI/SXOI2022] 多边形

三角剖分是我们已解决的经典问题，答案是卡特兰数。我们尝试通过一些手段去除题目中的限制，求出系数 \(c_3,c_4,\cdots,c_m\)，将问题规约至求若干次多边形的三角剖分数量，最后答案为 \(\sum_i c_i\text{Catalan}(i-2)\)。

尝试容斥“不能连同一条边上的点”这一限制，假设一条边严格内部有 \(c\) 个点，那么其会贡献：

\[\sum_{k=0}^cx^k\sum_i{c\choose k+i}{k+1\choose i} \]

咕咕咕

512 CF1874F Jellyfish and OEIS

容斥一些区间钦定它们符合条件，一个经典的想法是考察这些区间的结构。可以发现若存在相交的区间 \([a,b],[c,d]\) 满足 \(a<c\leqslant b<d\)，我们可以考察字典序最小的一组，那么有 \([c,b]\) 与没有 \([c,b]\) 的情况有双射，且系数恰好差 \(-1\) 倍。

转化为没有相交区间的容斥就好做了，采用区间 dp 合并树形结构，相当于要在一个大区间内钦定若干不交的小区间，剩下的位置随便乱放，于是记 \(f_{i,j}\) 表示这段区间的答案，\(g_{i,j,k}\) 表示考虑了区间 \([i,j]\)，有 \(k\) 个位置没有被覆盖的系数和，朴素转移即可 \(O(n^4)\)。

513 nowcoder65192D 虚树

最优策略一定是取直径端点为根，长链剖分保留前 \(k\) 长链。正确性基于选 \(k\) 个点的最大虚树有类似直径的可合并性质（还不会证，有人教我吗！）。

尝试使用 ST 表做区间询问，但是预处理复杂度太高。我们将序列对 \(k\) 分块，散块暴力加入，整块做 st 表，这样复杂度就是 \(O(n\log n\log k+qk\log k)\)。

514 QOJ61 Cut Cut Cut!

还不会证。