Examples

多项式右复合的一些特殊情况

下文中的“复合”默认为右复合。

复合 \(x+c\)：

展开后差卷积。

复合 \(e^x\)：

\[\sum a_i(e^x)^i=\sum a_i\sum_j\frac{i^j}{j!}=\sum_{j}\frac{1}{j!}\sum_i\ a_ii^j \]

只需计算 \(\sum_i\frac{a_i}{1-ix}\)，分治通分即可。

复合 \(\sqrt{1+x}\)：

对于偶数项，我们可以先复合 \(\sqrt{x}\)（将 \(2k\) 乘系数后平移到 \(k\)），再右复合 \(1+x\)。

对于奇数项，使用二项式定理：

\[(1+x)^{k+\frac 12}=\sum_{i\geqslant 0}{k+\frac 12\choose i}x^i\\=\sum_{i\geqslant 0}\frac{(2k+1)(2k-1)\cdot\cdots\cdot(2k-2i+3)}{2^ii!}x^i\\=\sum_{i\geqslant 0}\frac{(2k+1)!!}{2^ii!(2k-2i+1)!!}x^i \]

卷积即可。

复合 \(ax^2+bx+c\)：

我们取系数 \(\alpha,\beta,\gamma\)，并进行：复合 \(x+\gamma\)，复合 \(\alpha x\)，复合 \(x^2\)（这一步只需将 \(k\) 处系数移动到 \(2k\) 处），复合 \(x+\beta\)，于是 \(F(x)\) 会变为 \(F((\alpha(x+\gamma))^2+\beta)\)，解下方程就好了（而且显然有解）。

复合 \(\frac{1}{dx^2+ex+f}\)：

我们记 \(F^R\) 为 \(F\) 系数翻转后的多项式，注意到 \(F^R=x^{|F|}F(\frac 1x)\)（这是差卷积）。

利用这一性质，我们可以直接翻转系数并复合 \(dx^2+ex+f\)，最后除以 \((dx^2+ex+f)^n\)。这一步并不需要求逆，因为我们有：

\[G=\frac{1}{(dx^2+ex+f)^n}\\\ln G=-n\ln(dx^2+ex+f)\\\frac{G'}{G}=(-n)\frac{2dx+e}{dx^2+ex+f} \]

整理后可以得到递推式，可以线性求解。

复合 \(\frac{ax+b}{cx+d}\)：

取系数 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)，翻转系数，复合 \(\alpha x+\beta\) 得到 \(x^nF(\frac{1}{\alpha x+\beta})\)，翻转系数并复合 \(\gamma x+\delta\) 得到 \(F(\frac{\gamma x+\delta}{\alpha+\beta {\gamma x+\delta}})\)，解方程即可。

复合 \(\frac{(x+b)^2}{dx^2+ex+f}\)：

不妨先求得 \(\frac{x^2}{dx^2+(e-2db)x+(f-db^2-eb)}\) 并最后复合 \(x+b\)，记新的分式为 \(\frac{x^2}{dx^2+e'x+f'}\)，使用上面的方法将分式取倒数：

\[F(\frac{x^2}{dx^2+e'x+f'})=F^R(\frac{dx^2}{x^2}+\frac{e'x}{x^2}+\frac{f'}{x^2})(\frac{x^2}{dx^2+e'x+f'})^n \]

而 \(F^R(d+\frac{e'}{x}+\frac{f'}{x^2})\) 仍然可以通过该公式求得：

\[F^R(d+\frac{e'}{x}+\frac{f'}{x^2})=(\frac{1}{x})^{2n}(F^R(f'x^2+e'x+d))^R \]

括号内的部分可以通过上文的方法求得，于是我们完成了复合。

实现中由于要使用截断，需注意一个细节：我们应先完成平移再乘上 \((\frac{1}{d(x+b)^2+e'(x+b)+f'})^n=(\frac{1}{dx^2+ex+f})^n\)，因为该式有无限项，乘上它之后必定要截断，而复合 \(+b\) 是向下的差卷积，截断会忽略有贡献的项。

复合 \(\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)：

我们的目标是将分式形式化为前一部分所述的形式。

取系数 \(\lambda\)，将多项式平移 \(\lambda\) 得到：

\[\frac{a(x+\lambda)^2+b(x+\lambda)+c}{d(x+\lambda)^2+e(x+\lambda)+f} \]

我们若使得 \(\frac{2a\lambda+b}{a\lambda^2+b\lambda+c}=\frac{2d\lambda+e}{d\lambda^2+e\lambda+f}\)，那么我们便可减去一常数使分式上方仅剩二次项。

令 \(\lambda\) 为 \((ae-bd)\lambda^2+2(af-cd)\lambda+(bf-ce)=0\) 的解（无解需要扩域），那么可平移常数 \(\lambda=\frac{2a\lambda+b}{2d\lambda+e}\)（易证其存在性），化为前一种情况。

复合 \(ax^3+bx^2+cx+d\)：

取系数 \(\alpha,\beta,\gamma\)，并复合 \(ax+\gamma\)，\(x^3+\beta x\)（假设我们能做），\(x+\alpha\)，容易解出一组符合的系数，因此问题变为复合 \(x^3+cx\)。

事实上我们只需解决任意 \(c_0\ne 0\) 的情况，因为可以取系数 \(\eta,\theta\) 作复合 \((\eta x)\circ(x^3-c_0x)\circ(\theta x)\)（无解时需扩域）。

不妨取 \(c=-3\) 这一问题，而我们有：

\[(x^3-3x)\circ(x+\frac 1x)=x^3+\frac 1{x^3}\\x^3-3x=(x+\frac 1x)\circ x^3\circ(x+\frac 1x)^{\langle -1\rangle} \]

让我们继续拆分 \((1+\frac 1x)^{\langle-1\rangle}\)：

\[(\frac{1+\frac1x}2)=(\frac{x+1}{x-1})\circ x^2\circ(\frac{x+1}{x-1})\\(\frac{1+\frac 1x}{2})^{\langle-1\rangle}=(\frac{x+1}{x-1})^{\langle-1\rangle}\circ(x^2)^{\langle-1\rangle}\circ(\frac{x+1}{x-1})^{\langle-1\rangle}\\=(\frac{x+1}{x-1})\circ\sqrt x\circ(\frac{x+1}{x-1}) \]

复合 \(\sqrt x\) 需要手动维护 \(x^{k+\frac12}\) 次项。

参考资料：

posted @ 2023-10-02 15:02  xiaoziyao  阅读(409)  评论(3)  编辑  收藏  举报