2023-9-17 #69 我相信我值得被你所深爱

——闹闹《我值得吗？》

太厉害了我的晓莉 q🥰🥰🥰🤤🤤🤤😇😇😇。

488 P9535 [YsOI2023] 连通图计数

分讨 $m$ 的取值：

$m=n-1$ ，那么 $a_i$ 即一个点的度数，于是可以使用 prufer 序列计算方案数（多重组合数）。

没想到考察圆方树，输！

注意到， $a_i$ 实际上在描述圆方树中某一圆点的度数。

$m=n$ 时，我们可以计算出环的大小，使用 prufer 计算方案数，并乘上环排列方案数除二。

$m=n+1$ 时有两种情况，有一个方点时，同样能得到其度数并 prufer，而方点的构建方案数为 ${n\choose 2}\frac{(n-2)!({n\choose 2}-3)}{3!}$ （考察三度点，并注意三度点之间的三条链至多一条长度为 $0$ ，因此还需减三）。

有两个方点时，可以枚举其中一个方点的度数来计算，注意需要减去两个方点相连的方案数。

复杂度 $O(n)$ 。

489 P9536 [YsOI2023] Prüfer 序列

考虑 prufer 序列还原树的方法——从前往后扫描序列，每次选择编号最小的一度点连接当前位置上的编号，并将该点度数减一，最后将唯一未被删除的两个点相连（一定有一个为 $n$ ）。

这启发我们记录被删除的点，并钦定一些点为一度点（因为我们不能得知度数序列）。记 $f_{i,S,T}$ 表示考虑了序列上 $[i,m]$ 所有数，一度点集合为 $S$ ，被删除点集合为 $T$ 的方案数， $g_{i,j,S,T}$ 表示对应情况 $j$ 到 $n$ 的距离之和，状态数 $O(3^nnm)$ ，转移 $O(1)$ 。

考虑优化对 $S,T$ 的记录，注意到在删除 $x$ 某个儿子后我们仅会检查 $x$ 是否要并入 $S$ ，容易证明 $S$ 在去除至多一个位置后，其余位置编号均严格比 $T$ 中任意编号大（这事实上也给出了线性 prufer 序列还原树的方法），于是记录 $S,T$ 只需 $O(2^nn^2)$ 的信息量，可以做到 $O(2^nn^3m)$ 。

这里的具体实现比较复杂，我压 $S$ 信息的方法是记录 $S$ 的最小值与 $T$ 的最大值。

注意到 $g$ 状态太多还需继续压缩，注意转移时我们一定会删去 $S$ 的最小值，因此若 $S$ 最小值是游离在外的，我们事实上只需知晓其是否等于 $j$ ，于是我们可以记 $0/1/2$ 分别表示：其他/等于 $j$ /不等于 $j$ ，且比 $T$ 最大值更大，分讨可知可以转移。

常数较大，一个神秘的卡常方法是数组不开 $2$ 的幂次大小。

标算的记录方法是：若 $S$ 最小值游离在外且不为 $j$ ，我们可以假设 $S$ 形态为 $T$ 最大值拼上这段后缀，这样我们就只需要记录 $0/1$ 表示是否等于 $j$ 了。

490 P9537 [YsOI2023] CF1764B

考察游戏结束情况——若一个人无法操作，除非其集合形成等差数列，否则对手集合大小一定大于其集合大小。

于是我们大可先用集合大小估计胜负情况，并尝试修正等差数列的情况。

注意到结束时对手的集合应是 $\{d,2d,\cdots,(n-1)d\}$ 形式，因此其给出的数也是 $kd$ 形式，于是我们能分两个部分讨论：

开局即输，枚举 $d$ ，那么等差数列长度不超过 $\frac Vd$ ，使用 bitset 暴力 b&=b<<d 即可统计，复杂度 $O(\frac{V^2\log V}w)$ ，常数较小；
操作了至少一步再输，那么输家的集合最后一定形如 $\{kd,(k+1)d,\cdots,(k+n-1)d\}$ ，我们还需继续探究如何生成两人的集合。

假设最终态满足 $k=1$ ，输家必须初始拥有 $(n-1)d,nd$ ，事实上该条件在 $k=1$ 时充要，因为每次赢家集合大小为 $m$ 操作时，其可以构造至少 $m-1$ 个小于 $(n-1)d$ 的值，而输家只有 $m-2$ 个这样的值。

手模发现 $k>1$ 时起始态限制严格强，因此我们可以只统计上述条件，分先后手讨论，求和是范德蒙德卷积形式，这一部分复杂度 $O(V\log V)$ 。注意这里的统计不能与开局输的统计重复，我们只需在基础上减去选择两段等差数列的方案数，容易计算。

总复杂度 $O(\frac{V^2\log V}{w}+V\log V)$ 。

491 P9388 [THUPC 2023 决赛] 先人类的人类选别

怎么场上没一眼鉴定出来啊，好像不难？与 408 HDU6423 Rikka with Bubble Sort 的思路类似。

法一：

一个显然的性质是我们只会 swap 为非严格前缀最小值的数（我们称其为好数），而且可以将一段后缀的好数整体右移（注意不影响其他位置）。

进一步地，我们能发现成为了好数的值操作后仍然是好数，成为了好数的位置操作后仍然是好数。我们可以单独开两棵线段树维护好数（序列与值域上），查询区间和可以线段树二分出在这段区间内的好数区间。

接下来还需维护每个数何时变为好数，我们可以维护所有数的反序表，注意一次操作会将所有值小于等于 $x$ 的好数反序表更新，但是直接维护要求矩形减与最小值查询，这是不能接受的。

我们维护非好数的非严格前缀最小值，一次修改中我们容易得知哪些最值被改为好数，并动态维护最值，可以发现其不会漏掉任何新成为好数的位置。而我们只需维护这些最值的反序表，找到新加入最值的数并重新计算它们的反序表，都可以使用线段树进行模拟，复杂度 $O((n+m)\log n)$ 。

~~好吧还是有点繁琐的，但只想到这个做法。~~

法二：

注意到操作之间顺序互不影响，更进一步地我们能用堆描述操作可重集 $S$ 对一个前缀 $[1,i]$ 的影响——将 $[1,i]$ 的数与 $S$ 放入堆中，并取出前 $i$ 大以某种顺序放回 $[1,i]$ 。

每次查询只需取两个前缀和相减，于是我们并不需要维护每个位置的值，使用主席树上二分计算来回答询问即可，复杂度 $O((n+m)\log n)$ 。

492 uoj#596. 【集训队互测2021】三维立体混元劲

ei 太强了。

容易得到一般图的 EGF，我们需要进行高维多项式 ln 得到连通图的 EGF。

回顾二维多项式操作，二维 DFT 的实现方法是对多项式两维各 DFT 一遍。直觉上我们可以类似地处理高维 DFT，但别忘了 DFT 时需倍长值域，因此复杂度上会凭空多出 $2^k$ ，这并不能接受。

我们将一个高维下标看作一个 $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$ 进制数，我们要做的即“对所有相加不会进位的数对做卷积”，一个简单的想法是类似子集卷积，添一维记录各数位的和，但值域过大，并不好处理。

但是有一个类似的构造：记占位函数 $\chi(x)=\lfloor\frac{x}{n_1}\rfloor+\lfloor\frac x{n_1n_2}\rfloor+\cdots$ ，虽然值域仍然较大，但其避免了进位变 $0$ 的情况，于是 $\chi(x)+\chi(y)$ 应当与 $\chi(x+y)$ 非常接近，更进一步有 $\chi(x)+\chi(y)\in[\chi(x+y)-k+1,\chi(x+y)]$ 。

~~还没写，具体怎么实现就先不管了。~~

493 CF1707D Partial Virtual Trees

相邻不同这一限制比较烦，不妨将其容斥掉，我们只需 dp 求出任意固定长度的合法序列长度，于是设 $f_{i,j}$ 进行 $j$ 次操作， $i$ 内还有点的方案数。

考虑分讨 $i$ 在 $j$ 时刻是否存在，存在时平凡，不存在时我们考虑枚举失去 $i$ 的时刻 $k$ ：

f_{i, j} \leftarrow \sum_{k < j} \sum_{x} f_{x, k} \prod_{y \neq x} \sum_{l ⩽ p} f_{y, l}

$f_{i,j}\leftarrow \sum_{k<j}\sum_x f_{x,k}\prod_{y\ne x}\sum_{l\leqslant p}f_{y,l}$

预处理前缀和，以及后面那一堆前后缀积后，前缀和后容易 $O(|son(i)|)$ 算出 $f_{i,j}$ ，复杂度 $O(n^2)$ 。

494 CF1707E Replace

结论：

f^{k} (l, r) = ⋃_{l ⩽ i < r} f^{k} (i, i + 1)

$f^k(l,r)=\bigcup_{l\leqslant i<r} f^k(i,i+1)$

倍增处理 $f^{2^k}(i,i+1)$ 即可。

这是怎么想到的呢？

495 CF1707F Bugaboo

迷迷糊糊。

一个浅显的性质：任意异或和为 $0$ 的序列都能作为一次变换的结果。

类似地，考虑如何还原上一层——去除最后一个数，在前面任意添加一个数并作前缀异或和。

若 $n$ 为奇数，我们能唯一地确认前面添加的数是多少，因此只要异或和为 $0$ ，我们就能任意地向前还原。

$n$ 为偶数时，不妨考察 $n=2^h$ 的情况：

我们尝试先完成 bugaboo 的判定。注意到若 $t$ 为偶数，我们可以将两次相邻操作合并，于是环上可以分成奇偶两部分递归处理。这一策略相当优秀，在 $t$ 为奇数时，我们手玩后也能发现其即在 $t-1$ 次的基础上，额外要求两部分初始时异或和相等。

形式化地，我们设计函数 $f(S,t)$ 表示我们考察下标集合 $S$ ，需要在之前进行 $t$ 次变换，返回是否合法，以及最初序列的异或和，转移容易刻画，复杂度 $O(n+(m+q)\log n)$ （决策树类似线段树，建树线性，修改 $O(log n)$ ）。

（事实上这里 $S$ 的划分递归与 FFT 的蝴蝶变换一致）

接下来考虑计数，暴力地增加一维 $k$ 表示我们要求这个集合初始时异或和为 $k$ 。若 $t$ 为偶数，转移为 XOR 卷积；若 $t$ 为奇数，转移为点乘。容易发现固定前两维时， $k$ 这一维 dp 值只有两种情况：只有一个位置有值 $(2^w)^v$ ，或者全为 $0$ 或 $(2^w)^v$ （归纳易证），于是可以 $O(1)$ 合并，维护方法与判定是一致的。

扩展到 $n$ 任意，我们将其表示为 $n=2^h(2k+1)$ ，手动建出 $h$ 层的决策树后化作 $n$ 为奇数情况，之后一定合法。具体地，我们即在序列 $b_i=\oplus_{j\bmod 2^h=i}a_j$ 上应用前面提到的算法，但注意 $t\geqslant 2^h$ 时需限定 $b_i=0$ 。