2023-9-17 #69 我相信我值得被你所深爱
——闹闹《我值得吗？》
太厉害了我的晓莉 q🥰🥰🥰🤤🤤🤤😇😇😇。
488 P9535 [YsOI2023] 连通图计数
分讨 \(m\) 的取值：
\(m=n-1\)，那么 \(a_i\) 即一个点的度数，于是可以使用 prufer 序列计算方案数（多重组合数）。
没想到考察圆方树，输！
注意到，\(a_i\) 实际上在描述圆方树中某一圆点的度数。
\(m=n\) 时，我们可以计算出环的大小，使用 prufer 计算方案数，并乘上环排列方案数除二。
\(m=n+1\) 时有两种情况，有一个方点时，同样能得到其度数并 prufer，而方点的构建方案数为 \({n\choose 2}\frac{(n-2)!({n\choose 2}-3)}{3!}\)（考察三度点，并注意三度点之间的三条链至多一条长度为 \(0\)，因此还需减三）。
有两个方点时，可以枚举其中一个方点的度数来计算，注意需要减去两个方点相连的方案数。
复杂度 \(O(n)\)。
489 P9536 [YsOI2023] Prüfer 序列
考虑 prufer 序列还原树的方法——从前往后扫描序列，每次选择编号最小的一度点连接当前位置上的编号，并将该点度数减一，最后将唯一未被删除的两个点相连（一定有一个为 \(n\)）。
这启发我们记录被删除的点，并钦定一些点为一度点（因为我们不能得知度数序列）。记 \(f_{i,S,T}\) 表示考虑了序列上 \([i,m]\) 所有数，一度点集合为 \(S\)，被删除点集合为 \(T\) 的方案数，\(g_{i,j,S,T}\) 表示对应情况 \(j\) 到 \(n\) 的距离之和，状态数 \(O(3^nnm)\)，转移 \(O(1)\)。
考虑优化对 \(S,T\) 的记录，注意到在删除 \(x\) 某个儿子后我们仅会检查 \(x\) 是否要并入 \(S\)，容易证明 \(S\) 在去除至多一个位置后，其余位置编号均严格比 \(T\) 中任意编号大（这事实上也给出了线性 prufer 序列还原树的方法），于是记录 \(S,T\) 只需 \(O(2^nn^2)\) 的信息量，可以做到 \(O(2^nn^3m)\)。
这里的具体实现比较复杂，我压 \(S\) 信息的方法是记录 \(S\) 的最小值与 \(T\) 的最大值。
注意到 \(g\) 状态太多还需继续压缩，注意转移时我们一定会删去 \(S\) 的最小值，因此若 \(S\) 最小值是游离在外的，我们事实上只需知晓其是否等于 \(j\)，于是我们可以记 \(0/1/2\) 分别表示：其他/等于 \(j\)/不等于 \(j\)，且比 \(T\) 最大值更大，分讨可知可以转移。
常数较大，一个神秘的卡常方法是数组不开 \(2\) 的幂次大小。
标算的记录方法是：若 \(S\) 最小值游离在外且不为 \(j\)，我们可以假设 \(S\) 形态为 \(T\) 最大值拼上这段后缀，这样我们就只需要记录 \(0/1\) 表示是否等于 \(j\) 了。
490 P9537 [YsOI2023] CF1764B
考察游戏结束情况——若一个人无法操作，除非其集合形成等差数列，否则对手集合大小一定大于其集合大小。
于是我们大可先用集合大小估计胜负情况，并尝试修正等差数列的情况。
注意到结束时对手的集合应是 \(\{d,2d,\cdots,(n-1)d\}\) 形式，因此其给出的数也是 \(kd\) 形式，于是我们能分两个部分讨论：
- 开局即输，枚举 \(d\)，那么等差数列长度不超过 \(\frac Vd\)，使用 bitset 暴力
b&=b<<d即可统计，复杂度 \(O(\frac{V^2\log V}w)\)，常数较小； - 操作了至少一步再输，那么输家的集合最后一定形如 \(\{kd,(k+1)d,\cdots,(k+n-1)d\}\)，我们还需继续探究如何生成两人的集合。
假设最终态满足 \(k=1\)，输家必须初始拥有 \((n-1)d,nd\)，事实上该条件在 \(k=1\) 时充要，因为每次赢家集合大小为 \(m\) 操作时，其可以构造至少 \(m-1\) 个小于 \((n-1)d\) 的值，而输家只有 \(m-2\) 个这样的值。
手模发现 \(k>1\) 时起始态限制严格强，因此我们可以只统计上述条件，分先后手讨论，求和是范德蒙德卷积形式，这一部分复杂度 \(O(V\log V)\)。注意这里的统计不能与开局输的统计重复，我们只需在基础上减去选择两段等差数列的方案数，容易计算。
总复杂度 \(O(\frac{V^2\log V}{w}+V\log V)\)。
491 P9388 [THUPC 2023 决赛] 先人类的人类选别
怎么场上没一眼鉴定出来啊，好像不难？与 408 HDU6423 Rikka with Bubble Sort 的思路类似。
法一：
一个显然的性质是我们只会 swap 为非严格前缀最小值的数（我们称其为好数），而且可以将一段后缀的好数整体右移（注意不影响其他位置）。
进一步地，我们能发现成为了好数的值操作后仍然是好数，成为了好数的位置操作后仍然是好数。我们可以单独开两棵线段树维护好数（序列与值域上），查询区间和可以线段树二分出在这段区间内的好数区间。
接下来还需维护每个数何时变为好数，我们可以维护所有数的反序表，注意一次操作会将所有值小于等于 \(x\) 的好数反序表更新，但是直接维护要求矩形减与最小值查询，这是不能接受的。
我们维护非好数的非严格前缀最小值，一次修改中我们容易得知哪些最值被改为好数，并动态维护最值，可以发现其不会漏掉任何新成为好数的位置。而我们只需维护这些最值的反序表，找到新加入最值的数并重新计算它们的反序表，都可以使用线段树进行模拟，复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
好吧还是有点繁琐的，但只想到这个做法。
法二：
注意到操作之间顺序互不影响，更进一步地我们能用堆描述操作可重集 \(S\) 对一个前缀 \([1,i]\) 的影响——将 \([1,i]\) 的数与 \(S\) 放入堆中，并取出前 \(i\) 大以某种顺序放回 \([1,i]\)。
每次查询只需取两个前缀和相减，于是我们并不需要维护每个位置的值，使用主席树上二分计算来回答询问即可，复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
492 uoj#596. 【集训队互测2021】三维立体混元劲
ei 太强了。
容易得到一般图的 EGF，我们需要进行高维多项式 ln 得到连通图的 EGF。
回顾二维多项式操作，二维 DFT 的实现方法是对多项式两维各 DFT 一遍。直觉上我们可以类似地处理高维 DFT，但别忘了 DFT 时需倍长值域，因此复杂度上会凭空多出 \(2^k\)，这并不能接受。
我们将一个高维下标看作一个 \((n_1,n_2,\cdots,n_k)\) 进制数，我们要做的即“对所有相加不会进位的数对做卷积”，一个简单的想法是类似子集卷积，添一维记录各数位的和，但值域过大，并不好处理。
但是有一个类似的构造：记占位函数 \(\chi(x)=\lfloor\frac{x}{n_1}\rfloor+\lfloor\frac x{n_1n_2}\rfloor+\cdots\)，虽然值域仍然较大，但其避免了进位变 \(0\) 的情况，于是 \(\chi(x)+\chi(y)\) 应当与 \(\chi(x+y)\) 非常接近，更进一步有 \(\chi(x)+\chi(y)\in[\chi(x+y)-k+1,\chi(x+y)]\)。
还没写，具体怎么实现就先不管了。
493 CF1707D Partial Virtual Trees
相邻不同这一限制比较烦，不妨将其容斥掉，我们只需 dp 求出任意固定长度的合法序列长度，于是设 \(f_{i,j}\) 进行 \(j\) 次操作，\(i\) 内还有点的方案数。
考虑分讨 \(i\) 在 \(j\) 时刻是否存在，存在时平凡，不存在时我们考虑枚举失去 \(i\) 的时刻 \(k\)：
预处理前缀和，以及后面那一堆前后缀积后，前缀和后容易 \(O(|son(i)|)\) 算出 \(f_{i,j}\)，复杂度 \(O(n^2)\)。
494 CF1707E Replace
结论：
倍增处理 \(f^{2^k}(i,i+1)\) 即可。
这是怎么想到的呢？
495 CF1707F Bugaboo
迷迷糊糊。
一个浅显的性质：任意异或和为 \(0\) 的序列都能作为一次变换的结果。
类似地，考虑如何还原上一层——去除最后一个数，在前面任意添加一个数并作前缀异或和。
若 \(n\) 为奇数，我们能唯一地确认前面添加的数是多少，因此只要异或和为 \(0\)，我们就能任意地向前还原。
\(n\) 为偶数时，不妨考察 \(n=2^h\) 的情况：
我们尝试先完成 bugaboo 的判定。注意到若 \(t\) 为偶数，我们可以将两次相邻操作合并，于是环上可以分成奇偶两部分递归处理。这一策略相当优秀，在 \(t\) 为奇数时，我们手玩后也能发现其即在 \(t-1\) 次的基础上，额外要求两部分初始时异或和相等。
形式化地，我们设计函数 \(f(S,t)\) 表示我们考察下标集合 \(S\)，需要在之前进行 \(t\) 次变换，返回是否合法，以及最初序列的异或和，转移容易刻画，复杂度 \(O(n+(m+q)\log n)\)（决策树类似线段树，建树线性，修改 \(O(log n)\)）。
（事实上这里 \(S\) 的划分递归与 FFT 的蝴蝶变换一致）
接下来考虑计数，暴力地增加一维 \(k\) 表示我们要求这个集合初始时异或和为 \(k\)。若 \(t\) 为偶数，转移为 XOR 卷积；若 \(t\) 为奇数，转移为点乘。容易发现固定前两维时，\(k\) 这一维 dp 值只有两种情况：只有一个位置有值 \((2^w)^v\)，或者全为 \(0\) 或 \((2^w)^v\)（归纳易证），于是可以 \(O(1)\) 合并，维护方法与判定是一致的。
扩展到 \(n\) 任意，我们将其表示为 \(n=2^h(2k+1)\)，手动建出 \(h\) 层的决策树后化作 \(n\) 为奇数情况，之后一定合法。具体地，我们即在序列 \(b_i=\oplus_{j\bmod 2^h=i}a_j\) 上应用前面提到的算法，但注意 \(t\geqslant 2^h\) 时需限定 \(b_i=0\)。
